概率论与数理统计（十一）

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第六章   样本及其分布

第一节   数理统计的几个基本概念

一、数理统计的研究对象

概率论：解决的问题是已知RV X的分布律，研究各个量的关系，如期望，方差……的定义，计算等。

基本理论概念：

例：有一批灯泡，要从使用寿命这个数量指标来看其质量，1.若规定寿命低于1000小时的为次品，X表示寿命，P(X≤1000)=F(1000)要求的是X~ F(X)? EX DX?

解决办法：全部测试不可能；从一批中选取一部分n个，得到x1,x2,……xn。有二方面问题：1.试验设计，如何抽样？n=?部分产品代表一批的特性。2.对n个数据x1,x2,……xn进行分析，推断整批灯泡的特征，这就叫做数据处理或者统计推断。

数理统计的任务就是从部分或者局部按一定概率方法，推断整体统计的规律性。

二、总体（母体）与个体

所研究的全体所组成的集合称为总体，组成总体的每一个基本单元（元素）称为个体。

说明：总体个体是相对而言的。

对总体我们关心的是某一个或者几个数量指标。而不是其他属性。总体是某一个或者几个数量指标的全体组成的集合。

为了研究问题的方便，把总体中不同数量指标的全体看成RV X的取值。

把总体与随机变量等同起来。简称总体X。

样本（或者子样）

定义：从总体中抽取的一部分个体称为子样，取得的每个子样叫样本，每个样本的测试值叫观察值，子样中个体的个数叫样本容量（n），取得子样的过程叫做抽样。

子样的二重性：随机性，X1，X2……Xn; 确定性，（x1,x2,……xn），是样本的观察值，以上二种都可称为子样。

三、简单随机抽样与简单随机子样

对抽样的二点要求：代表性，Xk与X同分布；总体中每个个体等可能被抽得，相互独立。

满足以上二点的子样就是简单随机子样。

得到简单随机抽样子样的抽样叫简单随机抽样，二个特征：Xk与X同分布，X1，……Xk同分布。

总体分类：无限总体，任取n个都是简单随机抽样；有限总体，N较少，必须有放回抽样才是简单随机抽样。

若N较大，n/N<0.1,也可以近似看作是无限总体。

以后之研究简单随机抽样。

二、子样的分布

已知总体X~ F(X), Xi与X同分布，Xi~ F(Xi) i=1,2,……,n F(Xi)=P(Xi≤xi), 则子样（X1，……Xn）~

已知总体X~ f(x)， xi~f(xi) , i=1,2……n, 子样的联合分布密度：（x1,……xn）=

例1    总体X~ N(μ,σ2),写出（X1，……Xn）的联合分布

， ，i=1,2……n

(X1,……Xn)~ i=1,……n

例2   总体X~ U(a,b) X~ f(x)=1/(b-a) a<x<b; 0 其他。  Xi~ f(xi)=1/(b-a) a≤xi≤b; 0 其他。 i=1,2,……n。

（X1，……Xn）~  if a≤（x1……xn）’<b; 0 其他。

已知（x1……xn）是（X1，……Xn）的一组观察值，样本的经验分布函数：将(x1……xn)从小到大排序为（x1*……xn*）, 定义Fn(X)=0 if x<x*; k/n if xk*≤x≤xk+1*; 1 if x≥xn*, k=1,2,……n-1

其中k/n是不大于X的观察值的频率，为总体X样本经验分布函数。

如 样本（1,0,1 ，2，0,3,4,2,3,5），排序（0,0,1，1,2,2，3，3,4,5）

Fn(X)=0 if x<0; 1/5 if 0≤x<1; 2/5 if 1≤x<2; 3/5 if 2≤x<3; 4/5 if 3≤x<4; 9/10 if 4≤x<5; 1 if x≥5

缺点：有波动性，也有稳定性。

N较多时稳定。

割裂文科定理：当n->∞时，Fn(X)关于X均匀的以概率1收敛于F(x): , 实际上，当n很大，F（x）≈Fn(x),作为判断总体分布的理论依据。

二、样本的数字特征（统计量）

定义一：设φ（X1……Xn）是样本的函数，并且φ中不再含有其他未知数，则称φ（X1……Xn）是样本的一个统计量。

如：X~ N(μ,σ2),如μ未知， 不是统计量。若已知μ=2， 是统计量，但是 不是统计量。

定义二：总体X， 样本（X1……Xn） 叫样本均值， 叫样本方差。 叫样本的k阶原点矩，k=1,2……

叫样本的k阶中心矩。 叫二阶中心矩，是RV。以上k=1,2……

第二节     抽样分布

一、二个重要结论

定理一： 设（X1……Xn）是总体X的样本，记E(X)=μ, D(X)=σ2，无论总体服从什么分布都有：

证明：

这时候， 不能继续用统计特征期望和方差描述，怎么办呢？

方法一：

结论：

方法二：

，展开就能得到结论。

定理二：无论总体X服从何种分布，(X1，……Xn)是X的样本， （这是总体的k阶原点矩）， ,

是总体的k阶中心矩， 是样本的k阶中心矩。当n->∞时，Ak依概率收敛于αk，Mk依概率收敛于μk。

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