第四节 关于分布函数的皮尔逊检验法(卡方检验法)
H0:F(x)=F0(x), F(x)=F0(x,θ), θ未知。H1:F(x)≠F0(x)
一、皮尔逊的卡方检验法
设总体X的分布是H0,
X 1 2 …… i …… m
P p1 p2 …… pi …… pm
0<pi≤1,i=1,2,……,m,
从中任取一个样本(x1,……,xn),x=i,记事件(x=i)=Ai, i=1,……,m
A1,……,Am是完备事件组。
试验模型:作n次独立试验,每次只能出现Ai之一。ni表示n次独立试验中Ai出现的频数。要检验:H0:P(x=i)=pi, i=1,……,n, 即 H0:P(Ai)=pi,
| A1 | A2 | …… | Ai | …… | Am |
第一次 | 1 | 0 | …… | 0 | …… | 0 |
第二次 | 0 | 1 | …… | 0 | …… | 0 |
第三次 | 0 | 0 | …… | 0 | …… | 0 |
…… | …… | …… | …… | …… | …… | …… |
第i次 | 0 | 0 | …… | 1 | …… |
|
|
|
| …… |
| …… |
|
第n次 | 0 | 0 | …… | 0 | …… | 0 |
Ai出现的次数 | n1 | n2 | …… | ni | …… | nm |
| A1 | A2 | …… | Ai | …… | Am |
实际频数 | n1 | n2 | …… | ni | …… | nm |
理论频数 | np1 | np2 | …… | np3 | …… | npm |
实际频率 | n1/n | n2/n | …… | n3/n | …… | nm/n |
概率 | p1 | p2 | …… | p3 | …… | pm |
如果H0成立, 应当小,从而是大概率事件,转化为: 应该小,或者
把ni看成RV, 由于平方减少了差异,采用下式:
, n很大(n>50)时,皮尔逊证明此结论。
定理一(皮尔逊定理):设A1,……,Am是完备事件组,P(Ai)=Pi, i=1,2,……,m,Pi是已知的。ni是n次独立重复试验中Ai发生的次数,并且 ,则当n充分大时,
,给定α,使得:
H0的拒绝域为:
检验步骤:
H0:F(x)=F0(x), 已知F0(x)的分布律,H1可以不设。
H0成立,拒绝域为
计算H0成立时,P(Ai)=Pi, i=1,……,m
计算落入Ai中样本数量ni, 计算
查表 。
统计推断,若 ,拒绝H0;否则若 ,H0相容。
第二节 关于分布函数的假设检验
一、皮尔逊 卡方检验
H0:F(x)=F0(x),H1: F(x)≠F0(x)
找m个完备事件组,A1,……,Am
计算:P(A1)=p1,……,P(Am)=pm
Ai个数:n1,……,nm, ,样本点个数很大。
选择统计量:
给定α,使得
H0拒绝域为
计算 ,查表
推断:若 ,拒绝H0;若,H0相容。
例1:盒中有黑球和白球,有放回的抽取方式取球,抽到白球为止,记下抽取次数,试验100次的结果如下:
抽取结果
抽取次数 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
频数 | 43 | 31 | 15 | 6 | 5 |
问盒中白球和黑球个数比是否是1:3(α=0.05)。
解:总体X是首次摸到白球所需的抽取次数: ,k=1,2,……, q+p=1
H0: , H1:
A1(x=1), A2(x=2),……, A5(x≥5)是完备事件组。
, , ,
,
n1=43, n2=31, n3=15, n4=16, n5=5
,
所以在α=0.05下,拒绝H0,认为其概率不等于1/4。
二、检验:H0, F(x)=F0(x,θ1,……,θr)有r个参数
皮尔逊推广定理:P275
参照书P276,例2
H0, ,i=0,1,2,……
在H0成立的条件下,用最大似然估计法(样本值)估计未知参数。
, ,xi=0,1,2,……, i=1,2,……,n
x=0,1,2,……
这是λ的极大似然估计值。
,i=0,1,2,……
ni≥5,或者npi≥5较好。
A1(x=0,x=1), A2(x=2),……,A7(x=7), A8(x≥8)
,……,
(n很大时,近似服从卡方分布,m是事件组个数,r是未知数个数,这里是1)。
计算。
P277,例3
H0: X~ N(μ,σ2), 似然估计μ,σ2
H0: X~ N(1.406, 0.0482)
分组: A1=(x<a2), A2=(a2,a3),……, Ak=(ak-1, ak),……, Am=( am,+∞),A1,……,Am为完备事件组。
P278 例3
相容,接受H0。
(至此概率论与数理统计所有内容就介绍完了,由于格式原因,省略了其中的有些图片,有些公式也不能正常显示,读者可以参照教材阅读。)