LOS56债券风险和收益

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经济随想

LOS56.Understanding Fixed-IncomeRisk and Return

一、Returns

1.Three sourcesof returns

Hold to maturity: Coupon,Reinvestment, Principle

Sold prior to maturity:还要加上Capitalgain/loss

债券价格主要受什么影响哇？是不是interest rate，利率不仅会影响 coupon reinvestment,还会债券在到期前售卖的价格。

2.Annualizedholding period rate of return年化的持有期收益率

    HPR=期末值/期初值，对于债券来说，就是期末收到的钱除以期初购买债券花的钱，然后年化。你投资债券，期末你收到的钱有哪些呢？我们刚讲的coupon+ reinvestment+ selling price

A investor has a 6% annual-pay3-year bond purchased at a YTM of 7% and held to maturity

先算买这个债券的成本，花了多少钱?

N=3;I/Y=7;PMT=60;FV=1000;CPTPV=-973.76

再算收到了多少钱，收到的钱分为两部分coupon和principal

N=3;I/Y=7;PMT=60;PV=0;CPTFV=-192.89，如果题目单独问你reinvestment是多少，会不会求啊？是不是192.89-60*3=12.89

如果持有至到期，在第三年末收到1000

HPY=[(1000+192.89)/973.76]1/3-1=7%=YTM,这里有一个结论啊，如果债券按期支付本息且持有至到期，再以YTM再投资，HPY=YTM。

如果投资者在到期前将债券卖掉，HPY?

A investor has a 6% annual-pay3-year bond purchased at a YTM of 7% and sell it at the end of the second year.

先算成本，原来买债券花的钱还是973.76

再算收到的钱，分两部分Coupon+ reinvestment

N=2;I/Y=7;PMT=60;PV=0;CPTFV=-124.2，

接着算卖价，到期前能卖多少钱呢？

这个债券内含的收益率是7%，一年后收到1060，这个债券值多少钱，你才能定多少钱，对吧？那么，这个债券值多少钱呢？是不是1060/1.07=990.65

HPY=[(124.2+990.65)/973.76]1/2=7%

如果投资期<maturity, HPY还是等于YTM，这是为什么呢？

因为卖价也是按照YTM折现算出来的，coupon也是按照YTM再投资的，所以HPY一定是等于YTM的。

如果投资者在买了债券后，市场上同类债券的YTM发生了变化，对债券价格有什么影响呢?

持有至到期

如果YTM下降到5%，N=3;I/Y=5;PMT=60;PV=0;CPTFV=189.15

HPY=（1189.15/973.76）1/3-1=6.89%<7%

如果YTM上升到8%， N=3;I/Y=8;PMT=60;PV=0;CPTFV=194.78

HPY=（1194.78/973.76）1/3-1=7.1%>7%

如果投资者持有至到期，直接收到本金，没有Market price risk的，只有Reinvestment risk，而且YTM与HPY同向变化。YTM上升，再投资收益上升，再投资风险下降，HPY上升，反之亦然。

如果投资者在到期前将债券卖掉

如果YTM下降到5%，投资者在第一年将债券卖掉，可以卖多少钱呢？

N=2;I/Y=5;PMT=60;FV=1000；CPTPV=-1018.59

HPY=(1018.59+60)/973.76=10.78%>7%

如果YTM上升到8%，N=2;I/Y=8;PMT=60;FV=1000；CPT PV=-

HPY= ( +60)/973.76=  <7%

刚刚持有了1年，收到的coupon很少，Reinvestment risk较小，而YTM变化直接影响债券market price， Market price risk很大。YTM上升，债券价格下跌，Market price risk增大，HPY下降，反之亦然。YTM与HPY反向变化。

3. Reinvestment risk and Market pricerisk

如果YTM上升，Reinvestment收入上升，Market price下降。由于利率变动导致Reinvestment收入的不确定，称为Reinvestment risk；利率变动导致价格变动的不确定性称为Marketprice risk。这两种风险是反向变化的，YTM上升，Reinvestmentrisk下降，Market price risk上升，两种风险存在trade-off。在不同的投资期间，哪种风险占主导地位呢？

例如，有一个投资者，买入一份3年期，6%coupon rate，一年付息一次的债券。买入债券一年后，他把债券卖了，他的投资期限就是一年，此时没有Reinvestment risk，因为他还没有来得及收到coupon进行再投资就直接卖掉了，但是他还是面临价格风险的，此时债券的卖价主要取决于市场利率。因此，我们说For a investor with short investmenthorizon: market price risk>reinvestment risk。而对于一个投资者，在投资到期前一天卖掉债券，在持有的这一段漫长时间里，他不断的收到coupon 然后不断的按照市场利率进行再投资，此段期间的市场利率对他的再投资有很大的影响，reinvestment risk is high,而债券马上就要持有至到期了，债券的价格此时接近par value, 市场利率对他影响较小，market price risk islow。因此，For a investor with long investment horizon: marketprice risk＜reinvestmentrisk。如果投资在持有至到期是没有Market price risk的，按期直接收到本金，但是还是会有Reinvestment risk。这个道理大家一定要理解啊，到了三级学固定收益的时候还要用到。

二、Duraitons

我们知道对债券价格影响最大的是利率风险，哪么利率风险怎么度量呢？这里要讲学习固定收益最重要的知识点，一级要学，二级要学，三级还得学啊。

利率变动分为两类：

一类是YTM变动对债券价格的影响,yield duration

另一类是含权债券，它们对yieldcurve变动更为敏感。Yield curve变动对债券价格的影响程度,curve duration

1.什么是Duration呢？

Duration就是利率变动一个单位，债券价格变动多少个单位。最早是由一个姓Macaulay的人提出来的，所以也叫Macaulay duration。

Macaulay duration,它是一个收到现金流所在时间的加权平均，用该期现金流占总现金流的比重作为加权的权重。

                              

2.我们知道MacDur算出来的是一个年限，为了更好的衡量利率风险，反映利率变化和价格变化之间的关系，我们对MacDur进行了修正，除以1+YTM,得到Modified Duration。 ModDur=MacDur/(1+YTM)

ΔP=-ΔIR* ModDur, Duration 一般默认为年化啊。如果一个债券ModDur是5，市场利率下降1%，债券价格上升1%*5=5%

3.如果给定了MacDur和YTM，我们可以很快的算出ModDur。但是，如果题目没有给MacDur，如何计算ModDur呢？

ModDur是衡量一单位利率变化，债券价格变化的幅度。这个本质上是不是一个斜率的概念哇。我们在前面学习债券曲线性质是不是有一条convexity涨多跌少，是这样的一条曲线，这求出这条曲线在切点的斜率，是不是就求出了ModDur哇。利率上下浮动1%对应的点所连成的线是不是平行于我们在此点的切线，斜率是相等的。这条线的斜率是不是高除以底

Approximate Modified Duration=(PV--PV+)/2*Δyield*PV0

这个公式大家必须要掌握，而且还要会计算啊。下面结合一道例题感受一下。

这里有一点需要注意ModDur是对价格和利率变动的线性估计，而实际上债券曲线是convex的，而不是线性的。因此，ModDur只适用于估计利率的小幅度变动，不适合估计利率大幅变动对债券价格的影响。

4.EffectiveDuration

    前面我们分析的债券都是option-free的，那么，对于含权债券，例如callable bond,我们又应该如何估值呢？

对于含权债券，何时行权是不是直接决定了债券的估值哇。那到底持有人会选择何时行权呢？是不是跟市场利率有关啊，如果市场利率降低，callable bond的发行人可以以更低的价格在市场上融资，他是不是会把债券call回哇。因此，市场利率的走势决定了他的duration。对于含权债券，我们用effective duration衡量利率风险。

ED=（V--V+）/2* V0*Δcurve--

ED适用于估计利率的小幅度变动还是适合估计利率大幅变动对债券价格的影响？利率大幅度变动哈，只用利率大幅度变动，才有可能行权，小幅度变动是行权可能性不大。

为什么我们不用内含的IRR(YTM)折现算含权债券的价格呢？因为含权债券的未来现金流是不确定的，此时用YTM计算价格就不合适了，用YTM折现是不是要满足三大条件哇？还记不记得？不记得的同学，复习一下哈。

公司债的收益率=Benchmark yield +liquidity premium+credit spread

ModDur是笼统的讲的YTM变化对price的影响，ED只衡量了Benchmarkyield yield curve对price的影响，creditspread变化对price的影响，我们有时用“creditduration”衡量。

5.刚才我们讲的几个duration只能用于利率的平行移动，那么对于非平行移动，我们应该用什么衡量呢？这里，我们介绍key rate duration,也叫Partial duration，它是假设其他年限的spot rates不变，只有一个年限的spot rate变化。所以，一个债券在每一个年限都有一个key rateduration。对于Key rate duration，大家只需要掌握它是衡量non-parallel shift的duration就可以了哇。

6.Duration of abond portfolio

Portfolio duration=W1D1+W2D2+……+WNDN,比重是按债券的marketvalue除以整个portfolio的MV,这里一定要注意，用MV算权重，而不是par value啊。

  

这种方法计算组合duration有一个缺陷,他假设利率曲线才是平行移动的，组合里所有债券YTM的变动量是相同的。但现实生活中，利率变化并非是平行移动的。

7.Money duration

Money duration=annual modifiedduration*full price of bond position

Money duration per 100 units ofpar value= annual modified duration* full bond price per 100 of par value

8.Price value ofa basis point(PVBP):YTM变动1 basis point, full price 变动多少。

三、Convexity

    前面我们讲的Durations都是利率小幅变动对债券价格的影响,那么如果利率大幅变动，例如上升100bps,债券价格又该是怎样变的呢？

我们用Convexity来衡量利率大幅变动对债券价格的影响。而利率变动分为两类：

一类是YTM变动对债券价格的影响；

Approximate convexity=(V-+V+-2V0)/△YTM2* V0

另一类是含权债券，它们对yieldcurve变动更为敏感。Yield curve变动对债券价格的影响程度；

Effectiveconvexity=(V-+V+-2V0)/△curve2* V0

对于所有的option-free bond, convexity都是正的

Callable bonds：在利率低时，calloption行权，债券价格不再继续上涨，这个属性叫negative convexity。

Putable bond的convexity>option-freebond,在利率上升时，债券价格下降，put option行权，putable bond跌的比一般bond更少，convexity更大。

四、同时考虑duration和convexity时，债券价格如何变化？

1.△%P=-ModDur*△YTM+1/2*Convexity*△YTM2

2.Price effect ofprice changes

公司债的收益率=Benchmark yield +liquidity premium+credit spread

ModDur是笼统的讲的YTM变化对price的影响，ED只衡量了Benchmarkyield yield curve对price的影响，creditspread和liquidity变化对price的影响

△%P=-ModDur*△spread+1/2*Convexity*△spread2

五、Relationships among HPR, Duration and the investmenthorizon

  

Duration gap=MacDur-Investmenthorizon

MacDur>Investmenthorizon   market price risk

MacDur<Investmenthorizon   reinvestment risk

六.影响Interest raterisk的因素：

Maturity:期限越长，风险越大。债券PV是未来现金流的折现值，期限越长，PV对折现率越敏感，俗称“夜长梦多”。

Couponrate：票面利率越大，风险越小。票面利率越大，提前收回的钱越多，风险越小。

YTM:YTM上升，风险下降。债券曲线是涨多跌小convexity，利率下降时，价格涨的更多，斜率更大，价格对利率变动更敏感。

A putor a call provision:有看涨或看跌期权的债券，其风险低于一般债券。因为，在利率下跌时，看涨期权可行权。利率上涨时，看跌期权可行权。

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关键词：Reinvestment relationship fixed-income Approximate Investment 收益 interest selling returns period

谢谢  

谢谢楼主

谢谢…受益了

解释得很棒，谢谢！