关于期望效用的求解

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拥有初始财富 w 元人民币的驾驶员决定是否合法停车。如果她决定合法停
车，她将保留她的初始财富 w。如果她决定非法停车，有两件事情会发生。首
先，她将节省时间，所节省的时间对她的价值为 s 元人民币。无论她是否因非
法停车而得到罚单，她都会在初始财富 w 的基础上加上这 s 元。其次，她有可
能收到罚单，得到罚单的机率为 p。如果她收到了罚单，她必须缴纳 f 元罚金。
她的VNM效用函数是货币的严格增函数，且处处连续、二阶可导，严格凹。该
驾驶员的目标是最大化其预期效用。
(a) 司机的停车问题实际上是一个在风险下决策的问题。b) 如果司机最终决定合法停车，那么 s 和 f 之间必须满足什么关系？
(c) 我们定义 S(p, f ) 如下：给定机率 p 和罚金 f，当司机非法停车所节省的时
间对司机的价值为S(p, f )时，非法停车与合法停车对司机而言没有分别。写出定
义函数S(p, f)的数学恒等式。用文字解释为什么这一恒等式背后隐含下面的决策
规则：
如果 S(p, f ) > s，合法停车。
如果 S(p, f ) < s，非法停车。
如果 S(p, f ) = s，合法停车与非法停车对司机而言等价。
(d) 对(c)中的恒等式进行规范的静态比较分析。p 和 f 的变动会对 S(p, f ) 造成
怎样的影响？判定各表达式的符号，这些符号与司机的决策有什么关联？
(e) 证明 S 对 f 的弹性大于 S 对 p 的弹性。（提示：你已经得到了 ∂S/∂p 和
∂S/∂f 的表达式。运用二阶泰勒展开式和VNM效用函数严格凹的事实。）

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关键词：期望效用 VNM效用函数 效用函数 比较分析 节省时间 人民币 驾驶员 财富 价值 司机

(b) 如果司机最终决定合法停车，那么s(1-p)>fp
(c)(1-p) v(w+s)=p v(w-f)

(d)由于恒等式时，S(p, f ) = s，将它带入(c)中，(1-p) v(w+ S(p, f ))=p v(w-f)
再对恒等式两边对p求导，得，
因为， ， ， ，所以 。因此得到罚单的机率为 p越大，司机非法停车所节省的时间对司机的价值就越大，越可能非法停车。
再对恒等式两边对f求导，得， ，因为 ， ，所以 ，因此，罚金 f越大，司机非法停车所节省的时间对司机的价值就越小，非法停车可能越小。

由于恒等式时，S(p, f ) = s，将它带入(c)中，(1-p) v(w+ S(p, f ))=p v(w-f)，再对恒等式两边对p求导，得，dS/dp=(V(w+ S(p, f ))+ V(w- f ))/((1-p) dV/dS), 因为，V(w+ S(p, f )>0，V(w- f )>0，(1-p) dV/Ds>0，所以dS/dp>0。因此得到罚单的机率为 p越大，司机非法停车所节省的时间对司机的价值就越大，越可能非法停车。同理求对f的导数