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从集合论的观点看中学数学中的概念和问题_数学与应用数学论文

发布时间:2015-03-29 来源:人大经济论坛
数学与应用数学论文范文 字数:3311 从集合论的观点看中学数学中的概念和问题 【摘 要】:集合论是中学数学,乃至整个数学的理论基础.其他数学概念,诸如整数、有理数、实数、几何图形、函数、代数、运算、微积分等,都可以用集合论的理论、方法和语言加以表述。 【关键词】:集合论的理论与方法 表述 中学代数 几何 19世纪70年代Cantor创立的集合论,虽然在上世纪末已被数学家广泛接受,并用它作为构筑整个数学大厦的基础,但是它本身却是用说明的方式建立的,未被严格理论化,因此被后人称为“朴素”的集合论.尽管如此,在我们中学数学教科书或一般高等数学(非数学基础学科)书中所讲、所用的集合论知识,正是这种朴素的集合论. 从集合论的观点来看,中学代数主要研究数集的扩张、运算和变换.解方程(或不等式)f(x)= 0(≥0),就是要求得与由命题形式给出的集合{x|f(x)=0(≥0)}相等的具体数集(指明它的元素是哪些数).解n元方程组,则是要求得笛卡儿积Rn的一个具体子集,使等于由命题给出的集合. 中学几何,则主要研究作为平面和空间点集的几何图形.几何图形的性质,可以归结为相应点集之间关系的研究.几何图形的运动和变换,可以从相应集合的运算来考察.通过建立坐标系,把解方程与求曲线交点这两类问题对应起来,沟通了点集与有序数组之间的联系,把点集与数(对)集统一起来. 不少数学证明题可以归结为:由前提和结论所确定的两个集合相等或包含关系的判定.集合论为求解和证明数学题提供了简明的表达方式. 下面举出若干实例来说明这一点. Ⅰ.关于几何图形 中学平面几何和立体几何中一些基本几何图形,如线段、圆、球等,都是作为一个整体图形来看的.从它们传统的定义中,很难明确指出它们的各个部分究竟是什么,以致一些中学生分不清线段AB和它的长度|AB| ,圆与圆周,球和球面等.如果用集合论的方法和语言来表述这些图形,把它们看作是满足某些条件的点的集合.就会弄清楚这些图形究竟包括哪些点. 以O点为圆心、以r 为半径的圆,是集合 ⊙(O,r)= {P|| OP|≤r} 而这个圆的圆周是集合{P||OP|=r}. 这样,就把圆和圆周这两个概念严格区分开来了. 线段AB,可表示为点集 AB={M||AM+|MB|=|AB|} 角∠AOB,可视为由从点O出发的两条射线OA、OB,以及平面被它们划分开的两部分之一的所有点构成的集合.图2—2(a)与(b)中的两个角,虽然它们的顶点和边相同,但却是完全不同的角. Ⅱ.关于几何题的证明 几何中性质命题“若A,则B”,可理解为“具有性质A的某(些)几何元素,是具有性质B的几何元素”. 如果令几何元素(点、直线、图形)x的集合 A={x|A(x)},B={x|B(x)} 下面我们用这种观点来说明几何证明中“同一法”的理论依据. 对于性质命题“若A,则B”,如果集合A={x| A(x)}是单元素集,即具有性质A的几何元素只有一个,就说该命题符合“同一法则”.符合同一法则的几何命题,可以用同一法给以间接证明,其证明的步骤有三: 1° 找出一个几何元素F′∈B(即作出具有性质B的图形F′); 2° 证明F′∈A(即F′也具有性质A); 这样,运用同一法的前提条件、证明步骤,都有了充分的理论依据,以前关于同一法则和同一法的一些模糊提法,也得到了澄清. Ⅲ.抽屉原理
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