有一只股票现在价格是100¥,有一个option如下:
maturity是无限的,当股价到达200¥时,卖家给买家200¥,付钱之后,这个option就完了。若股价一直没有到200¥,则买家一直等下去。
问:这个option价格多少?如何hedge?
提示:此问题不依赖于股价模型。
答案:100
想法: 无套利。 如果买的价格高于100¥,比如说110,那卖家卖出一个期权后,立马用100¥买一个股票放手里,把剩下的10块钱存银行,这样不论什么时候股票到了200¥,卖家只要把手里的股票买了就能给买家200¥,所以期权价格不超过100块。 反之,若期权价格低于100块,比如说90¥,则买家买入一个期权,这时卖空一个股票,得100¥,见到买期权的90¥,这样马上手头上就有10¥,存银行。等到股票价格到达200¥,卖家给买家200¥,立马买一只股票,平仓掉卖空的那只股票,初始的那10¥钱是套利。证毕。hedge时就是直接买一个股票就可以了。
其实不过在BS模型下,可以证明这样的期权价格是100,只不过这时行权的时间是个stopping time. 折现就是在stopping time 的折现,数学上的小技巧之后可以得出相同的结论。