[学科前沿] 《三人分汤问题》再探讨和推广 [推广有奖]

我觉得这个问题很有意思，在原来的帖子里回复以后，还是希望和大家讨论讨论。

三人分汤，如何能每个人都觉得不少于1/3。

我的回答是，在一定假设条件下，只需满足一个条件即可，即最先分的人最后选。

证明如下：设有A,B,C三君，无先后顺序，并且为理性人（在多的收益与少的收益选择中会选择多）。

        以下证明只考虑三人汤存在分汤取汤顺序，同时先分者将汤分成三份的情况。（排除有人将汤分成两份或四份更多的情况）（其他的情况我自己没有考虑~~~。。。）
       取任一人（设为A君）分汤，将汤分为a,b,c三份，并设a≥ b≥ c，同时a+b+c=1，a,b,c均不为负。
       首先证明，如满足题设，A君需要最后拿。
       反证，因本题取汤存在先后顺序，故A,B,C君取汤可设为1、2、3号顺位。如A君以1、2号顺位取汤，他便有机会拿去a或b比例的汤。由于A为理性人，他可以大幅降低c汤的比例，以提高a汤b汤的比例，a汤的最高比例为1，b汤的最高比例为1/2（不等式中a,b的范围）。此情况下，三人中必定有人拿汤小于1/3，即1/3≥ c。故A君需要最后拿。
       其次证明，此情况下，三个人拿汤均不小于1/3。
       由于A君最后拿，同时B,C君也为理性人，故A君等到的汤为c汤，由不等式可知，c汤的最大值为1/3，A为理性人，c汤应等于=1/3。所以不等式变化为a+b=2/3，同时a≥ b≥ 1/3。此时，不等式的解为，a=b=c=1/3。题目得证。

       此情况描述了三人分汤的较优模式，并得到满足题设的分汤结果。本题的结果既是如需每个人都得到不少于1/3的汤，唯一需要满足的条件就是先分的最后拿，与后选的人并没有什么关系。因为，分汤的人出于理性的考虑，一定会将汤分成每份都是1/3的比例，这样也就没有后来选的人的差别了。

       将此问题推广，只要是N人分1汤，为了在第一个人分汤最后一个取的情况下，他为了提高自己的最大收益，必定将汤等分成1/N份，剩下的N-1人的取汤顺序和方法也就无需考虑了。

       如果是将问题延伸至游戏（经济社会）规则的制定问题，如果游戏的规则制定者同时也是游戏的参加者，那么需要如果保证游戏的公平，那么同样，只要满足规则制定者最后获取游戏收益即可。

       博弈论基本是围绕理性人假设的，所以我的推论也只能从这个假设上出发。我看到大家写的答案都很好很明白，所以想从逻辑的严谨上探讨这个题目。我的推论仍然存在一些逻辑漏洞，希望和大家探讨。