证明分布函数由其特征函数唯一确定-经管之家官网！

证明梗概浏览：
需要懂逆转公式、复数计算以一维的方式处理两维随机变量，就到了复数范围。特征函数
和母函数、三角函数、自然对数、\pi、狄利克雷积分、欧拉公式相互紧密联系。证明过程
还能启示标准正态分布解析式形式的推导。根本来讲定理证明建立在数学分析基础之上。
赞叹古人形式构造的本领，融会贯通这些16到19世纪伴随工业繁荣的历史成果并不是凡有
接触皆已通晓。唯一性定理是诸多统计学结论得出的保证，熟悉其对常用分布的描述以及流畅证明需诸多数学分析知识。
同时希望得到特征函数对随机变量直观上的意义。
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直接证明试行：
狄利克雷积分不会积，它是反常积分不好积。存在一种积分可表示等可能一个离散分布。也就是x只能取两个值，P(x=x_1) =P(x=x_1)=0.5,这整个分布的分布函数可以三角函数的一个积分表示出来。这是故意构造出来的结构。要想积分成功狄利克
雷还有个前提知识就是Laplace变换。发现狄利克雷积分的积分原函数做线性变换之后，形式改变了但是积分结果是一样的。
可以把三角函数写成多项式的和。此路不通，当x很大时不行。
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常用分布的特征函数和母函数推导练习：
[LaTex]\mathcal{A.}退化分布I(x-c),以确定的概率1取值c,即P(x=c)=1,密度函数p(x)=\begin{cases}1,x=c\\0,x\ne c\end{cases},母函数:P(s)=Es^c=s^c[/LaTex]
[LaTex]分布函数F(x)=\begin{cases}0,x < c\\1,x \ge c\end{cases},定义得到特征函数:f(t)=Ee^{itc}=e^{itc},离散情形不用积分计算方法：\int_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}p(x)\,dx[/LaTex]
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[LaTex]\mathcal{B.}伯努利分布,P(x=a)=p,P(x=a)+P(x=b)=1,其中a<b,密度函数p(x)=\begin{cases}p,&x=1\\1-p,&x=0\end{cases}[/LaTex]
[LaTex]母函数:P(s)=ps^a+(1-p)^b,分布函数:F(x)=\begin{cases}0,&x<a\\p,&a \leq x < b\\1,&x \ge b\end{cases},特征函数:f(t)=pe^{ita}+(1-p)e^{itb}[/LaTex]
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[LaTex]\mathcal{C.}二项分布B(n,p,q),密度函数P(\xi=k)=\dbinom{n}{k}p^kq^{n-k},k=0,1,\cdots,n,[/LaTex]
[LaTex]母函数:P(s)=\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{k}p^kq^{n-k}s^k=(ps+q)^n,分布函数:P(\xi\leq k)=\sum_{i=0}^{k}\dbinom{n}{k}p^kq^{n-k}[/LaTex]
[LaTex]特征函数:f(t)=\sum_{j=1}^{n}P(\xi=k)e^{itk}=\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k}p^kq^{n-k}e^{itk}=\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k}{pe^{it}}^kq^{n-k}=(pe^{it}+q)^n[/LaTex]
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[LaTex]\mathcal{D.}泊松分布\mathcal{P(\lambda)}.密度函数P(\xi=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,\cdots,n,分布函数:F(\xi \leq k)=\sum_{i=0}^{k}\frac{\lambda^i}{i!}e^{-\lambda}[/LaTex]
[LaTex]因为：\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=1,故期望：E(\xi)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}k=\lambda\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}e^{-\lambda}=\lambda[/LaTex]
[LaTex]\begin{alignat}{1}方差：D(\xi)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}(k-\lambda)^2&=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}k^2-2\lambda \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}k+\lambda^2\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\\&=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}k^2-2\lambda \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}k+\lambda^2\\&=\lambda\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}(k+1)-2\lambda^2 \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}+\lambda^2\\&=\lambda E(\xi)+\lambda-\lambda^2=\lambda \end{alignat}[/LaTex]
[LaTex]母函数:P(s)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}s^k=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^k s^k}{k!}e^{-\lambda}=e^{\lambda(s-1)}[/LaTex]
[LaTex]\begin{alignat}{1}特征函数:f(t)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}e^{itk}=&e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{itk}=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(\lambda\cdot e^{it})^k}{k!}=e^{e^{it\lambda}-\lambda}=e^{\lambda(e^{it}-1)}\end{alignat}[/LaTex]
—>变换的每一步都有目的，变换才能成功。
—>全可能概率和为1=e^0=e^(\lambda-\lambda)来自自然对数展开，而自自然对数展开来自由二项式展开推广。
—>只要将特征函数中的e^it换成s就得到母函数。
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[LaTex]\mathcal{E.}正态分布\mathcal{N}(a,\delta)\,密度函数:p(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\delta}e^{-\frac{(x-a)^2}{2\delta^2}},先证明分布函数积分上线取无穷大极限时积分结果是1:[/LaTex]
[LaTex]\begin{alignat}{1}\lim_{x\to +\infty}P(\xi<x)&=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\delta}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(x-a)^2}{2\delta^2}}\,dx=\frac{1}{\sqrt{ \pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}\,dy,其中 y=\frac{x-a}{\sqrt{2}\delta},dx=\sqrt{2}\delta \,dy\\&=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{ \pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\,dx\right)\left(\frac{1}{\sqrt{ \pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}\,dy\right)}\\&=\sqrt{\frac{1}{\pi}}\end{alignat}[/LaTex]
[LaTex]特征函数：f(t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\delta}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(x-a)^2}{2\delta^2}}\cdot e^{itx}\,dx=[/LaTex]
—>正态分布的密度函数已经具有了很好的解析性质，特征函数倒更加繁琐了。
—>全可能概率积分和正态分布的中心、方差无关,验证过程需要用到极坐标变换。我被自己问道，那又怎样！
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\mathcal{F.}
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\mathcal{G.}
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\mathcal{H.}
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\mathcal{I.}
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\mathcal{J.}
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\mathcal{K.}
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\mathcal{L.}
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\mathcal{M.}
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\mathcal{N.}
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\mathcal{O.}
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\mathcal{P.}
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\mathcal{Q.}
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\mathcal{R.}
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\mathcal{S.}
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\mathcal{T.}
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