【数据分析第一弹】方差分析(ANOVA)-经管之家官网！

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什么是方差分析？

方差分析是基于平方和分解的一种统计方法，其目的在与推断两组或多组资料的均值是否相等，检验两个或多个均值的差异是否在统计意义上显著。

（1）单因素方差分析（One-way ANOVA）

平方和分解：

总平方和(SST)=组内平方和(SSE)+组间平方和(SSB) （均是离均差平方和）

自由度n-1 = n-g + g-1

离均差平方和自能反应变异的绝对大小，变异程度除与离均差平方和的大小有关外，还与其自由度有关。引入均方差(MS)来反映变异程度：

组内均方差MSE=SSE/(n-g)

组间均方差MSB=SSB/(g-1)

构造F统计量： F=MSB/MSE~F(g-1,n-g)

H0：不存在处理效应

H1：存在处理效应

即：

H0:mu1=mu2=…=mug

H1:mu1、mu2、…、mug不全部相等

若H0成立则组内变异与组间变异都只反应随机误差大小，MSE与MSB相当，F接近1。

若H0不成立，即存在处理效应，则组内变异仍只反映随机误差的大小，但组间变异不仅反映随机误差大小还有处理效应，此时组内均方差MSB>组内均方差MSE。因此若F远大于1，即MSB远大于MSE即认为存在处理效应，H0不成立。

应用条件：（1）个观测值相互独立(这一条一般跟实验设计有关，数据处理时不做检验，只要实验设计得当，这一条一般认为满足）

（2）服从正态分布

（3）方差齐性

Example1:

为研究煤矿粉尘作业环境对尘肺的影响，将18只大鼠随机分到A、B、C 3个组，每组6只，分别在地面办公楼、煤炭仓库和矿井下染尘，12周后测量大鼠全肺湿重（g），数据如下表，问不同环境下大鼠全肺湿重有无差别？

Rcode:

####(1)one-way ANOVA

#创建数据

XA=c(4.2,3.3,3.7,4.3,4.1,3.3)

XB=c(4.5,4.4,3.5,4.2,4.5,4.2)

XC=c(5.6,3.6,4.5,5.1,4.9,4.7)

X=c(XA,XB,XC)

Treat=gl(3,6,label=c("A","B","C"))

#正态性检验

qqnorm(X)

qqline(X)

library(fBasics)

normalTest(X)

jarqueberaTest(X)

#方差齐性检验

bartlett.test(X~Treat)

#先画个箱线图看看各组均值是否大致在一个水平上

plot(X~Treat)

#方差分析

fit=aov(X~Treat)

summary(fit)

####模型诊断

layout(matrix(c(1,2,3,4),2,2)) # optional layout

plot(fit)

两种正态性检验的结果，p值均大于0.1，所以不能否定数据服从正态分布

Bartlett检验结果，p值大于0.1，不能否定各组数据方差相等。

箱线图显示各组均值存在较明显差异，有可能存在处理效应

ANOVA结果显示，P值小于0.05，，所以在alpha=0.05的显著性水平上，我们认为H0不成立，即有95%把握认为存在处理效应，不同环境下大鼠全肺湿重有差别。

模型诊断图：上左和上右表示残差的波动程度基本不随观测值而变化，下左看残差是否服从正态分布，下右各个因子水平上残差波动程度相当；上左、上右，下右是对方差齐性的诊断

，下左是对正态性的诊断。

（2）two-way ANOVA（双因素方差分析）

<1>不可重复（无交互效应）

平方和分解：

总离差平方和(SST)=随机误差平方和(SSE)+行因素误差平方和（SSR)+列因素误差平方和（SSC)

自由度关系：

kr-1= (k-1)(r-1) + k-1 + r-1

MSE=SSE/(k-1)(r-1) MSR=SSR/(k-1) MSC=SSC/(r-1)

行因素检验统计量： F=MSR/MSE~F(k-1，(k-1)(r-1))

列因素检验统计量： F=MSC/MSE~F(r-1，(k-1)(r-1))

Example2

研究A、B、C三种营养素对小白鼠体重增加的影响，已知窝别为影响因素。拟用6窝小白鼠，每窝3只，随机地安排喂养A、B、C三种营养素之一种，8周后观察小白鼠体重增加情况，数据如下表。问：（1）不同营养素之间小白鼠的体重增加是否不同？（2）不同窝别之间小白鼠的体重增加是否不同？

Rcode:

##############创建数据集

XA=c(64,53,71,41,50,42)

XB=c(65,54,68,46,58,40)

XC=c(73,59,79,38,65,46)

X=c(XA,XB,XC)

nut=gl(3,6,label=c("A","B","C"))

loc=gl(6,1,length=18)

#############正态性检验及方差齐性检验#################

normalTest(X)

##############画箱线图初步分析营养液和窝点两因素各自的效应

par(mfrow = c(1, 2))

plot(X~nut+loc)

#############ANOVA

fit2=aov(X~nut+loc)

summary(fit2)

##########ANOVA模型诊断图

par(mfrow=c(2,2))

plot(fit2)

P>0.1，正态性检验通过

行因素列因素方差齐性检验p值均大于0.1，方差齐性检验通过。

箱线图结果表明行因素列因素均对X产生影响（由图可知均值不在一个level上）

Anova结果显示行因素（loc)列因素（nut）F检验P值均小于0.05，故认为行因素和列因素对X均有显著影响。

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