概率论与数理统计（6）-经管之家官网！

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第一章 多维RV及其分布

w∈S, X(w), Y(w), X,Y没有固定函数关系；X，Y有内在联系（相关关系）

一、随机变量

定义：若RV X1(w), X2(w)……Xn(w)定义在同一个S上，则{ X1(w), X2(w)……Xn(w)}构成一个n维RV，重点研究二维RV。

研究方法：将（X,Y）视为一个整体，平面上的随机点，研究其分布，叫做联合分布；X, Y各个分量的分布叫边缘（边际）分布。

二、离散型RV的联合分布律

若（X,Y）所有取值是有限可列或无限可列个，则称（X,Y）是离散型RV，称P(X=Xi,Y=Yi)=Pij D(Ai,Bj)是(X,Y)的联合分布律，i=1,2,……, j=1,2……。满足Pij≥0， i,j=1,2……, 。

分布列如下：

例1： 一整数X在1,2,3,4中任取，另一整数在1~ X中任取，试求(X,Y)的联合分布列。

P(X=1，Y=2)=1/4，P(X=2，Y=1)=1/4*1/2=1/8，P(X=3，Y=1)=1/4*1/3=1/12，P(X=2，Y=2)=1/4*1/2=1/8，P(X=3，Y=2)= P(X=3，Y=3)=1/12，P(X=4，Y=1)=1/4*1/4=1/16，P(X=4，Y=i)=1/16，i=1,2,3,4

三、联合分布函数

（一）定义：设（X,Y）是三维RV，对任意实数x,y，二元函数P(X≤x, Y≤y)=F(x,y)称为（X,Y）的联合分布函数。

（二）性质：0≤F(x,y)≤1，F(-∞，+∞)=1， ， ，

图形略

F （x,y）是x,y的不减函数。

图形略

例：（x,y）~ F(x,y)=1-e-x-e-y+e-x-y x≥0，y≥0； 0其他。求P(0<x≤1,0<y≤2)

解：P=F(1,2)-F(0,2)-F(1,0)+F(0,0)=1-e-1-e-2+e-3

四、连续型RV (X,Y)及其联合概率密度

（一）定义：RV (X,Y)~ F(X,Y)对任意实数x,y，存在f(x,y)≥0， 使得 ，则称(X,Y)是连续型二维随机变量，且f(x,y)是(X,Y)的联合密度函数。

（二）性质：f(x,y)≥0；；若f(x,y)在点(x,y)连续， ；D是x,y平面上的区域，

例（略）

第二节边缘分布

一、已知(x,y)~ F(x,y)，求X的边缘分布FX(x),Y的边缘分布函数FY(y)。

X~ FX(x)=P(X≤x)=P(X≤x)= P(X≤x,Y<+∞)=F(x,+∞)

Y~ FY(x)= F(+∞,y)

例： （X,Y）~ F(X,Y)=1-exp(-x)-exp(-y)+exp(-x-y) if x>0 y>0; 0 其他。

X~ FX(x)=F(x,+∞)=1-exp(-x) ifx>0 ,0 if x≤0

Y~ FY(y)=F(+∞，y)=1-exp(-y) y>0, 0 if y>0

二、已知（X,Y）~ P(X=xi, Y=yi)=Pij, i,j=1,2,…… ;

X~ P(X=xi)=P(X=xi,y<+∞)= ，i=1,2……

Y~ P(Y=yi)=P(x<+∞，Y=yi)= ，j=1,2……

Pi.≥0P.j≥0 ， ，

三、例题：略

四、相互独立的RV

定义一： 设（X,Y）~ F(X,Y), X~FX(x), Y~FY(y)，若对所有（x,y）有F(x,y)= FX(x)*FY(y),则称X,Y相互独立。A, B<=> P(AB)=P(A)P(B); P(X≤x,Y≤y)= P(X≤x)*P(Y≤y); F(x,y)= FX(x)*FY(y)。

定义二：（X,Y）是离散型RV，对所有的xi yj 有：（X,Y）~ P(X=xi, Y=yj)=Pij=P(X=xi)P(Y=yj)=Pi.P.j ，则称X，Y独立。其中X~Pi., Y~P.j

定义三：（X,Y）是连续型RV，（X,Y）~f(x,y), X~fX(x), Y~FY(y)，若对所有x,y都有：f(x,y)=fX(x) fY(y), 则称X,Y相互独立。

用处：判断X,Y是否独立；已知X,Y独立，用边缘分布求联合分布；推广x1,x2,……xn独立óF(x1,x2,……xn)=FX1(x1) FX2(x2) ……FXN(xn), f(x1,x2,……xn)=fX1(x1) fX2(x2) ……fXN(xn)

例题：略

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