孪生资产的期权定价

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Option Pricing of Twin Assets》
---
作者：
Marcelo J. Villena and Axel A. Araneda
---
最新提交年份：
2014
---
英文摘要：
  How to price and hedge claims on nontraded assets are becoming increasingly important matters in option pricing theory today. The most common practice to deal with these issues is to use another similar or \"closely related\" asset or index which is traded, for hedging purposes. Implicitly, traders assume here that the higher the correlation between the traded and nontraded assets, the better the hedge is expected to perform. This raises the question as to how \\textquoteleft{}closely related\\textquoteright{} the assets really are. In this paper, the concept of twin assets is introduced, focusing the discussion precisely in what does it mean for two assets to be similar. Our findings point to the fact that, in order to have very similar assets, for example identical twins, high correlation measures are not enough. Specifically, two basic criteria of similarity are pointed out: i) the coefficient of variation of the assets and ii) the correlation between assets. From here, a method to measure the level of similarity between assets is proposed, and secondly, an option pricing model of twin assets is developed. The proposed model allows us to price an option of one nontraded asset using its twin asset, but this time knowing explicitly what levels of errors we are facing. Finally, some numerical illustrations show how twin assets behave depending upon their levels of similarities, and how their potential differences will traduce in MAPE (mean absolute percentage error) for the proposed option pricing model.
---
中文摘要：
如何对非交易资产的债权进行定价和对冲，已成为当今期权定价理论中越来越重要的问题。处理这些问题的最常见做法是使用另一种类似或“密切相关”的资产或指数进行交易，用于对冲目的。在这里，交易者隐含地假设，交易资产和非交易资产之间的相关性越高，对冲预期表现越好。这就提出了一个问题，即这些资产实际上是如何密切相关的。本文介绍了孪生资产的概念，重点讨论了两种资产相似的含义。我们的研究结果表明，为了拥有非常相似的资产，例如同卵双胞胎，高相关性测量是不够的。具体而言，指出了两个基本的相似性标准：i）资产的变异系数和ii）资产之间的相关性。在此基础上，提出了一种度量资产间相似程度的方法。其次，建立了双资产期权定价模型。提出的模型允许我们使用一项非交易资产的孪生资产对一项非交易资产的期权定价，但这一次我们明确知道我们面临的错误程度。最后，一些数字示例显示了孪生资产的行为如何取决于它们的相似程度，以及它们的潜在差异将如何在拟议的期权定价模型的MAPE（平均绝对百分比误差）中进行转换。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--

---
PDF下载：
--> Option_Pricing_of_Twin_Assets.pdf (516.22 KB)

2022-5-5 11:52:59 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：期权定价 Quantitative Similarities Increasingly illustration

孪生资产的期权定价Marcelo J.Villena*Axel A.Araneda+2021年6月21日摘要在期权定价理论中，如何对非交易资产的债权进行定价和对冲正变得越来越重要。处理这些问题的最常见做法是使用另一种类似或“密切相关”的资产或指数进行交易，以进行套期保值。在这里，交易者隐含地假设，交易资产和非交易资产之间的相关性越高，对冲预期表现越好。这就提出了一个问题，即这些资产到底有多“密切相关”。本文介绍了孪生资产的概念，重点讨论了两种资产相似的含义。我们的发现表明，为了拥有非常相似的资产，例如同卵双胞胎，高相关性措施是不够的。具体而言，本文指出了两个基本的相似性标准：i）资产变化系数和ii）资产之间的相关性。在此基础上，提出了一种度量资产间相似程度的方法。其次，建立了双资产期权定价模型。提出的模型允许我们使用一项非交易资产的孪生资产为一项期权定价，但这一次我们明确知道我们面临的错误水平。最后，一些数字说明了双资产的行为如何取决于它们的相似程度，以及它们的潜在差异将如何影响所提出的期权定价模型的平均绝对百分比误差。关键词：交叉对冲，双资产，期权定价。*智利阿道夫·伊瓦涅斯大学。通讯作者电邮：marcelo。villena@uai.cl.+智利阿道夫·伊瓦涅斯大学。1简介通常，现实世界中的金融市场并不完整。

事实上，例如，如何对非交易资产的债权进行定价和对冲，正成为当今期权定价理论中越来越重要的问题。处理这一问题的最常见做法是使用其他类似或“密切相关”的资产或指数进行套期保值。财务文献集中于寻找最佳套期保值策略，通常使用效用最大化方法，例如参见[6,5]。众所周知，不完全金融市场中的这种交叉对冲机制会产生所谓的基差风险，见[3,1]。在这项研究中，隐含的交易者在此假设，交易资产和非交易资产之间的相关性越高，对冲预期表现越好。这无疑是这一策略如今的优势，因为在过去十年中，国际金融市场上的交叉资产相关性大致翻了一番。另一方面，有许多此类金融问题的例子，其中一项非交易资产需要交叉套期保值：例如，当套期保值工具与另一种商品相关时，某一特定商品的出口商[8]，或商品货币交叉套期保值，见[4]。然而，在一个不完整的金融市场中，除了交易资产和非交易资产之间的高度相关性外，交叉套期保值还提出了一个问题，即哪些资产实际上是类似的或“密切相关的”。事实上，分析这种资产相似性定义的有效性的研究并不多。在本文中，我们介绍了孪生资产的概念，重点讨论了相似的含义。我们的发现表明，为了拥有非常相似的资产，例如按照我们的比喻，同卵双胞胎，高相关性度量是不够的，我们需要在描述相似性时考虑，这是相对波动性的标准化度量。

具体而言，我们考虑两个基本的相似性标准来定义孪生资产：i）资产的变化系数，以及ii）资产之间的相关性。本文的结构如下。第二节首先提出了一种衡量资产间相似程度的方法，然后建立了一个双资产期权定价模型。提议的模型允许我们使用twinasset为一项非交易资产的期权定价，但这一次我们明确知道我们面临的错误程度。在第3节中，一些数字插图显示了孪生资产的行为如何取决于它们的相似程度，以及它们的潜在差异将如何在建议的期权定价模型的MAPE（平均绝对百分比误差）中进行转换。最后，给出了一些结论和未来的研究方向。摩根大通对摩根士丹利资本国际（MSCI）所有国家世界指数中45个发达国家和新兴市场国家股票基准之间的相关性进行了分析，见[7]。其结果表明，在过去20年中，这些国家基准之间的平均相关性大约翻了一番，从30%增加到60%。2模型本节介绍了我们的模型。首先，我们引入两个参数来帮助我们测量资产之间的相似程度。后一种情况是，根据孪生资产的定义，开发了一个期权定价模型，隐式地考虑了上述相似性的参数。2.1寻找孪生资产——设库存i的价值和库存j的价值，两者都在时间t。假设它们由以下随机微分方程控制：dSti=uiStidt+σiStidWti（1）dStj=ujStjdt+σjStjdWtj（2），其中σi和σjare常数。

Wtian和Wtjare-Gauss-Wiener过程保持以下关系：dWti·dWtj=ρdt（3）最后一个方程意味着股票i和j的收益率是相关的，并且这种相关性的值是ρ。（3）的等价表达式为：dWti=ρdWtj+p1- ρdWt（4），定义为独立的高斯-维纳过程。在此之前，我们一直遵循模拟类似资产的标准程序。然而，当对两个高度相关的资产进行建模时，它们不一定会遵循完全相同的轨迹，也不一定会在相似的点上完成。关于它们，我们唯一能说的是它们将同时上升和下降，但上升和下降的数量将取决于波动性。另一方面，波动率必须通过平均值进行校正（波动率相等但平均值不同的两种资产也不会遵循相似的轨迹）。因此，我们需要将波动率和平均值作为变量，以确定类似的资产。

因此，我们引入了相对波动率的标准化度量，这是一个α参数，由每种资产变化系数的商定义，由以下表达式给出：α≡（cv）i（cv）j=σiujσjui（5）然后，使用Itèèèèè的演算，我们在时间T>T:STi=Stie（ui）时获得Si和Sj的解析解-σi）（T-t） +σiρWT-tj+√1.-ρWT-T（6） μ（STj=STj）-σj）（T-t） +σjWT-tj（7），其中Sti和Stjare分别给出了股票i和j的时间值。从（6）和（7）中，我们可以建立股票SIA和Sj在时间跨度T内的回报率表达式，分别称为riandrjr- t:RT-ti=ln斯蒂斯蒂（8） RT-tj=lnSTjStj！（9） 在替换和重新排列了一些术语之后，我们有：RT-tj=ασjσiRT-ti+σj（ασi）- σj）（T- t） +σj（1）- ρα）WT-tj- ασjp1- ρWT-t（10），因此：STjeσj（1-ρα）WT-tj-ασj√1.-ρWT-t=Stj斯蒂斯蒂ασjσieσj（ασi-σj）（T-t） （11）等式（10）和（11）分别给出了每对收益和股票之间的关系，允许我们用股票（收益）i来表示股票（收益）j。考虑到它们的随机性，这些等式只有在随机项（即WT）-tjandWT-t） 大家都知道。因此，我们提出以下近似值：STj≈ Stj斯蒂斯蒂ασjσieσj（ασi-σj）（T-t） eσj（1）-ρα）WT-德克萨斯州-ασj√1.-ρWT-ty（12）其中WT-txand重量-它们是独立的布朗运动。我们看到（12）由ρ和α的值决定。如果同时ρ→ 1和α→ 1近似值的误差最小。因此，当ρ和α参数接近统一时，我们将其定义为孪生资产（即资产回报率完全相关，且具有相同（相似）的变化系数）。

或者，根据ρ和α的值，我们可以有不同水平的相似性。最后，表达式（12）可以写成更简洁的形式：STj≈ AB性病ασjσi（13）是一个确定性项，而B是一个随机项，由A=Stj给出性病-ασjσieσj（ασi-σj）（T-t） （14）B=eσj（1）-ρα）WT-德克萨斯州-ασj√1.-ρWT-ty（15）从这些等式中，我们可以清楚地看到，资产之间的相关性是拥有相似或孪生资产的必要条件，但不是充分条件。正如我们将在下一节中看到的，期权定价和套期保值的预测性能将在很大程度上取决于ρ和α参数。2.2关于孪生资产的期权定价在不完全市场中，对于交易员和投资者来说，一个重要的实际问题是如何定价和对冲我们所说的孪生期权。例如，在非交易资产或给定期权的情况下，如果我们有一个孪生资产，根据其在变异系数和相关性方面的相似性来确定，我们可以对资产或期权进行潜在的定价和对冲，但这一次需要衡量所涉及的错误。根据传统方法，标的资产为Sj的衍生工具遵循Black-Scholes方程[2]：rcj=cjt+σjSjcjSj+rSjcjSj（16）是一个期限的无风险利率。如果我们将cj视为一种普通看涨期权，到期时间为T（合同的起始日期固定为T=0），执行价格为Kj，则cj的价值由Black-Scholes公式给出：cj（T- t） =StjN流行音乐播音员- Kje-r（T）-t） N流行音乐播音员（17） 其中N（·）是累积正态密度函数，dj=lnStjKj+r+σj（T）- t） σj√T- t（18）dj=lnStjKj+R-σj（T）- t） σj√T- t（19）另一方面，我们可以将CJ与股票Si上的期权联系起来。

由于A>0和B>0，通过（13）并考虑cj的支付功能：STj- 千焦+≈ AB性病ασjσi- 基+（20） 式中Ki=Kj/（AB）。现在，使用（20），CJ的价格也与Si的价值有关。通过风险中性估值，我们得出：-r（T）-t） 嗯STj- 千焦+我≈ E-r（T）-t） E“AB性病ασjσi- 基+#（21）（21）的左侧对应于CJT时的价格- t（见（17））。那么，cj≈ E-r（T）-（t）∞^Kσiασji性病ασjσi- 基L性病dSTj（22）是l性病STi的概率分布。使用（6）和WTi=wp（T- t） ，与w~ f（w），为f正态标准分布；（22）被转化为：ci（T- （t）≈ 阿贝-r（T）-（t）√2π∞^-gi“斯蒂（r）-σi）（T-t） +xσi√T-Tασjσi- 基恩-wdw（23）式中，g=lnStiKσi/ασji+R-σi（T）- t） σi√T- t（24）为了求解，我们把左边分成两个积分：ci（t- （t）≈ 我- I（25）是，即w是标准正态变量I=AB（Sti）ασjσie-r（T）-（t）√2π∞^-gie[（r-σi）（T-t） +xσi√T-t] ασjσie-wdw（26）andI=ABKie-r（T）-（t）√2π∞^-吉-wdw（27）现在，我们只需要解出Iand，就可以找到Cj的Si值。之后，我们有：cj≈ AB性病ασjσieασjσi-1.（r+ασjσi）（T）-t） N（gi）- 阿布基-r（T）-t） N（gi）（28）式中g=lnStiKσi/ασji+人力资源+ασjσi-σii（T）- t） σi√T- t（29）=g+ασj√T- t（30）最后，以完整的形式编写，我们使用资产j的孪生资产i:cj的信息对资产j进行期权估值≈ 斯特杰ασjσi-1.（r+ασjσi）+σj（ασi）-σj）i（T）-t） eσj（1）-ρα）WT-德克萨斯州-ασj√1.-ρWT-泰恩（g）- Stj性病-ασjσiKie[σj（ασi-σj）-r] （T）-t） eσj（1）-ρα）WT-德克萨斯州-ασj√1.-ρWT-tyN（g）（31）从等式31中，我们可以看到，为了对原始资产j的期权进行估值，我们需要有以下参数：uj、ui、σj、σi和ρ。此外，我们需要S的初始值。α参数将隐含在us和σs中。

另一方面，将根据参数ρ和α给出定价的优度。3数值说明在本节中，我们使用以下参数ui=0.4、uj=0.8、σi=0.2、St=0i=80和St=0j=90开发一个数值说明。首先，考虑到这两种资产，我们将使用其具有不同ρ和α值的孪生子对一种资产定价路径进行建模，通过平均绝对百分比误差（MAPE）表明其预测能力。第二，使用相同的例子，我们将使用新的期权定价公式，评估其性能，以预测3个月的看涨期权，同样对于ρ和α的不同值。3.1孪生资产我们在ρ和α的几个值下，模拟了所涉及的两支股票SIA和Sj的路径（等式6和7）；其中Si是Sj的双胞胎；并使用（13）计算未来一天的模型预测。这些结果如图1所示。我们在图1中看到，当（ρ，α）=（1，1）时的完美函数。我们还发现，如果相关性值较低，则其精确度最低。另一方面，如果α6=1，结果将失去准确性。为了更清晰、更系统地测量误差，我们使用蒙特卡罗模拟，每对数值（ρ，α）重复40000次，然后计算这些模拟的平均绝对百分比误差（MAPE）。使用以下定义获得MAPE：MAPE（ρl，αm）=NNXn=1Sjn（ρl，αm）- SjnSjn（32）式中，Sjn（ρl，αm）是资产Sjn的第n次模拟值，使用参数ρlandαm，使用它twin（由12给出）；Sj是资产Sj的第N个模拟，N是复制的数量。这些模拟的结果如图2所示。图的右侧显示了α的Fix值；在这种情况下，MAPE是单调递减函数（与ρ相关）。

在（ρ，α）=（1，1）的情况下，我们有一个完美的孪生兄弟（没有错误）。如果我们将来再估计一次误差，MAPE的形式与上述相同，但数值明显放大（见3）。此外，误差（MAPE）与σj的值明显相关。如果σj的值增加，误差将增加。我们可以在图4中看到这种行为。在图像的左侧，我们有一个ρ=1和不同的α值；在右边，我们fixα=1和不同的ρ值。我们绘制了σj的三个不同值的最大值。在这两个子图中，如果σjis更大，则MAPE增加。3.2孪生资产的期权定价与上一节类似，我们在图5中显示了拟议期权定价模型的地图。在这个例子中，除了KJ=St=0j（行使价格）和r=0.05（无风险利率），我们使用了上述小节中相同的参数。同样，这些误差是使用与之前相同的方法得出的：MAPE2（ρl，αm）=NNXn=1cjn（ρl，αm）- 希杰（33）α的值通过改变μjbj来修改，该μjbj是股票sj上的看涨期权的理论值，具有执行价格KJ（见17），cjn（ρl，αm）是使用参数ρlandαm的关系（31）对cj的第n次模拟；Sj是资产Sj的第二个模拟，N=10000。正如所料，当ρ和α都接近1时，误差最小。实际上，只有当ρ=1和α∈ [0.95,1.05]MAPE低于10%。当ρ=1和α时，出现低于40%的MAPE∈ [0.8, 1.25]. 一般来说，对于距离（1，1）较远的（ρ，α）值，误差值非常高，例如超过100%。如上所示，MAPE取决于σ的水平，在这种情况下与σj的值成正比。