时间非齐次仿射过程与仿射市场模型

因此，具有连续传递函数的马尔可夫半鞅类本质上等于具有绝对连续（“正则”）传递函数的确定时变马尔可夫半鞅类。1.1马尔可夫过程定义1.1：可测空间（E，E）上的转移核N是映射N:E×E→ [0, ∞],每x∈ E地图A 7→ N（x，A）是一个度量，对于每个A∈ E地图x7→ N（x，A）是可测量的。如果N（x，E）=1表示所有x∈ E、 N是转移概率。如果n（x，E）<1，我们可以添加一个墓地点 到E并设置N（x{}) = 1.-N（x，E）和N(, {}) = 1，所以N是（E）上的转移概率, E), E在哪里= E∪{}还有E= σ（E{}).从E到R或C的映射函数被扩展到E通过设置f() = 0.ToSorten符号在本节的其余部分，我们使用E表示状态空间，即使存在墓地点。转移概率在有界（或非负）可测函数集f:E上引入转移算子→ R byNf（x）：=ZEf（y）N（x，dy）。请注意，我们使用相同的字母表示转移概率和相应的运算符。对于两个内核M，N，可以定义MN byMN（x，A）：=ZEN（y，A）M（x，dy），这也是一个过渡内核。

注意x7→ Nf（x）是可测量的，且（MN）f（x）=M（Nf）（x）。定义1.2：（E，E）上的转移函数是{Ps，t}0的集合≤s≤（E，E）上的tof转移概率，即Ps，uPu，t=Ps，t对于所有0≤ s<u<t和Ps，s（x，·）=δx（·），其中δx（·）表示狄拉克测度。如果Ps，t=Pt，则过渡函数称为时间齐次函数-稳定部队集合{Pt}t≥转移概率的0。定义1.3：在过滤概率空间上具有状态空间（E，E）的过程X(Ohm, A、 F，P）带F:=（Ft）t≥0，这样Xs= 暗示Xt= 对于所有的t>s，对于所有时间s<t且有界可测的F:E，如果它是F-适应的且[F（Xt）|Fs]=Ps，tf（Xs）（1.1），则是转移函数（算子）{Ps，t}on（E，E）的时间非齐次马尔可夫过程→ R.如果转移函数是时间齐次的，则是时间齐次马尔可夫过程。正如过渡函数和过渡算子之间的类比一样，我们可以通过要求B的马尔可夫性质来等价地表述马尔可夫性质∈ E、 P（Xt）∈ B | Fs）=Ps，t（Xs，B）。对于给定的转移函数，总是可以找到马尔可夫过程。这是以下引理的陈述（参见Revuz和Yor[42]中的I.3）。引理1.4：考虑过滤空间（ER）上的坐标过程X≥0，外汇∞, FX）与FX∞:= σ（（Xt）t≥FXt=σ（（Xt）0≤s≤t） 。对于给定的转移函数{Ps，t}和E上的起始分布u，在（ER）上有唯一的概率测度P≥0，外汇∞),这样X是（ER）上的马尔可夫过程≥0，外汇∞, FX、P）和Xhas分布u。这激发了对马尔可夫过程的另一种定义，不是关于固定概率测度P，而是关于一系列概率测度。我们首先在时间同质的情况下证明这一点。一个F-适应（E，E）值随机过程(Ohm, A、 F）。

如果E包含一个测量点 它必须保持Xs= 暗示Xt= 对于所有t>s.ii）假设每x∈ 存在一个度量Pxon(Ohm, A） ，使得px（X=X）=1。此外，假设对于所有t≥ 0和B∈ E地图7→ Px（Xt）∈ B） 这是可以衡量的。换句话说，Pt（x，B）：=Px（Xt∈ B） 是（E，E）上的概率。用Ext表示关于度量Px的期望值。定义1.5：组合（X，F，{Px}）是一个时间齐次马尔可夫过程(Ohm, A） ，如果i）和ii）满足且对于每个有界可测函数f:E→ R和x∈ E、 s，t≥ 0Ex[f（Xs+t）|Fs]=Ptf（Xs）。（1.2）注意，条件期望的tower属性给出了{Pt}是一个时间齐次转移函数。根据定义1.3，X是一个同质马尔科夫过程(Ohm, A、 F，Px）每x∈ E.相反，对于定义1.3意义下的时间齐次马尔可夫过程的转移函数{Pt}，我们可以使用引理1.4构造概率测度Px，其起始分布u=δx。那么（x，FX，{Px}）是(Ohm, 外汇∞) 在定义1.5的意义上。这就是{Pt}的规范实现。有时，马尔可夫性质被写成asEx[f（Xt+s）|Fs]=EXs[f（Xt）]。此处，右侧定义为EXs[f（Xt）]=g（Xs），其中g（x）=Ex[f（Xt）]=Ptf（x）。注意g是可测的，EXs[f（Xt）]是σ（Xs）可测的随机变量。接下来，我们将定义1.5推广到时间非齐次马尔可夫过程。为此，我们将ii）替换为ii\'），假设每个r≥ 0和x∈ 存在一个概率测度p（r，x）(Ohm, A） 使得P（r，x）（x=x）=1。此外，假设对于ALL，t≥ 0，B∈ E地图x7→ P（s，x）（Xt）∈ B） 这是可以衡量的。

这意味着ps，s+t（x，B）：=P（s，x）（Xt∈ B） 是一个转移概率。定义1.6：组合（X，F，{P（r，X）}）是一个时间不均匀的马尔科夫过程(Ohm, A） ，如果i）和ii\'）满足，并且对于每个有界可测函数f:E→ R和x∈ E、 r，s，t≥ 0E（r，x）[f（Xt+s）|Fs]=Pr+s，r+s+tf（Xs）=E（r+s，Xs）[f（Xt）]。（1.3）在这种情况下，塔的性质给出{Ps，t}是一个（时间非齐次）传递函数。备注：定义1.6不是标准。例如，在Gihman和Skorohod[24]中，aMarkov过程被定义为一个系统（X，Frs，{P（r，X）}），其中o（Frs）0≤R≤s≤∞是一个σ-代数族，比如Frs 0的FVTF≤ 五、≤ R≤ s≤ t、 oP（r，x）是关于(Ohm, Fr∞) 为了x∈ E、 这样x7→ P（r，x）（Xt）∈B） 是可测量的，并且oX是一个过程，使得xtt是可测量的，并且对于每个有界可测量的f和0≤ R≤ s≤ t<∞E（r，x）[f（Xt）|Frs]=E（s，Xs）[f（Xt）]。σ-代数族的标准选择是Frs=σ（Xt，r≤ T≤ s） 。我们相信定义1.6更方便，尤其是考虑马尔可夫过程，即半鞅，如第1.4节所述。定义为1.6的X是定义为1.3的时间非齐次马尔可夫过程(Ohm, A、 F，P（r，x））与转移函数{Pr+s，r+t}0≤s≤t对于每个（r，x）。另一方面，给定一个时间非齐次的转移函数{Ps，t}，我们可以利用转移函数{Pr+s，r+t}0应用引理1.4构造概率测度P（r，x）≤s≤tand开始测量u=δx，因此坐标过程x是（ER）上的马尔可夫过程≥0，外汇∞, FX，P（r，x））。那么（X，FX，{P（r，X）}）在定义1.6的意义上是一个时间非齐次马尔可夫过程。我们称（X，FX，{P（r，X）}）为{Ps，t}的规范实现。对于过渡函数的规范实现，可以定义移位算子θt:ER≥0→ 急诊室≥0，θt（ω）（s）：=ω（s+t），所以Xs（θt（ω））=Xs+t（ω）。

（1.4）或者，我们可以假设算子θt的存在：Ohm → Ohm, 使（1.4）成立。在这种情况下，马尔可夫性质可以扩展。注意，这有时也用于定义马尔可夫过程（同质情况见Revuz和Yor[42]中的命题III.1.7）。还记得FX吗∞= σ（Xt，t）≥ 0）是由过程X生成的σ-代数。引理1.7：设（X，F，{P（r，X）}）为马尔可夫过程，并假设移位算子θtexist。然后对于每一个有界（或非负）FX∞-可测随机变量Zand r，t≥ 0，x∈ EE（r，x）[Zoθt | Ft]=E（r+t，Xt）[Z]，集合{Xt6=}. （1.5）证据。对于时间均匀的情况，这在Revuz和Yor[42]命题III.1.6和III.1.7中得到了证明。时间不均匀的情况也类似。为了让右手边有意义，我们需要x7的可测量性→ E（s，x）[Z]对于每个s≥ 0.ForZ=IΓ，其中Γ={X∈ A、 Xt∈ A.Xtn∈ 这是由转移函数的马尔科夫性质和可测性得出的。这类集合的族Γ在有限交点下是封闭的，单调类定理（Revuz和Yor[42]，第0.II节）的应用给出了Γ的可测性∈ 外汇∞. 简单函数的近似将可测性扩展到了FX∞-可测Z.现在让Γ={Xs∈ A} 。那么方程（1.5）成立，即e（r，x）[iΓo θt | Ft]=E（r，x）[I{Xs+t∈ A} |Ft]=Pr+t，r+t+s（Xt，A）=E（r+t，Xt）[Γ。对于马氏性质，这也适用于Γ={X∈ A、 Xt∈ A.Xtn∈上面的一个}和一个单调类参数将其扩展到集合Γ∈ 外汇∞然后是外汇∞-可测Z.备注：x7的可测性→ 有界FX的E（r，x）[Z]∞-可测量Z允许我们定义每个r≥ 0和概率测度u在（E，E）上，概率测度p（r，u）在（E，E）上(Ohm, 外汇∞) （但不是(Ohm, A） byP（r，u）（λ）=ZEP（r，x）（λ）u（dx）。用E（r，u）表示P（s，u）下的期望值。

对于每个有界FX∞-可测量的ZE（r，u）[Z]=ZEE（r，x）[Z]u（dx）。此外，方程（1.5）适用，E（r，x）替换为E（r，u），Ftt替换为Ftt Ft.如果测度P（r，x）不依赖于r，则时间非齐次马尔可夫过程是时间齐次的。通过扩展状态空间和概率空间，可以将时间非齐次情形简化为时间齐次情形（参见alsoB–ottcher[6]或Wentzell[46]，第8.5.5节）。考虑以下几点：o扩展状态空间E:=R≥带σ-代数的0×E≈E:={B~E:Bs:={x:（s，x）∈ B}∈ E代表所有人∈ R≥0}.o 扩展概率空间Ohm := R≥0×Ohm 用σ-代数A:={A~Ohm : As:={ω：（s，ω）∈ A}∈ A为所有人准备∈ R≥0}.o 时空过程X=（Θ，X）on（ΘOhm,~A）由~Xt（s，ω）定义：=（s+t，Xt（ω））。o过滤系数由Ft定义：={A答：是的∈ 所有FTS∈ R≥0}.o 概率测度P（r，x）在（）Ohm,§A），其中∈A由P（r，x）（A）：=P（r，x）（Ar）定义。注意，概率测度P（r，x）集中在集合{r}×上Ohm, i、 e.~P（r，x）（{r}Ohm) = 1.o通过设置B定义的转换函数Pton（E，E）∈~EPt（（s，x，B）：=Ps，s+t（x，Bs+t）=P（s，x）（Xt）∈ Bs+t.）如果存在移位算子θt，则它们被扩展为θt（s，ω）：=（s+t，θt（ω））。引理1.8：设（X，F，{P（r，X）}）是一个时间非齐次马尔可夫过程(Ohm, A） 有状态空间（E，E）。o（~X，~F，{P（r，X）}）是（~Ohm,~A）具有状态空间（~E，~E）和转换函数{Pt}。o（X，~F，{P（r，X）}）是（~Ohm,~A）与状态空间（E，E）和转移函数{Ps，t}。证据{Pt}是一个转移函数，可以很容易地检查。关键的一点是Pt的可测量性。固定B∈~E和任何实Borel集C∧：=~P-1t（·，B）（C）=[s∈R≥0{s}×P-1s，s+t（·，Bs+t）（C）满意度∧s=P-1s，s+t（·，Bs+t）（C）∈ 因此∧∈~E。

类似的考虑也表明，流程X是F适应的。要显示X的马尔可夫性质，必须检查B的马尔可夫性质∈~E~E（r，x）[I{Xs+t∈ B} |Fs]=P（r，x）（Xs+t∈ B |Fs）=Pt（~Xs，B）。A.∈■FSAR∈ Fsand∧P（r，x）（A）=P（r，x）（{r}×Ar）=P（r，x）（Ar）。加上X的Markov性质，我们得到了aPt（~Xs（~ω），B）~P（r，X）（dω）=ZArPr+s，r+s+t（Xs（ω），Br+s+t）P（r，X）（dω）=ZArP（r，X）（Xs+t）∈ Br+s+t | Fs）P（r，x）（dω）=ZArIXs+t（ω）∈ Br+s+tP（r，x）（dω）=ZAInXs+t（ω）∈ bop（r，x）（dω）。这表明（~X，~F，{P（r，X）}）是一个时间齐次马尔可夫过程。很容易证明（X，~F，{P（r，X）}）是一个具有传递函数{Ps，t}的时间非齐次马尔可夫过程。要获得映射（s，x）7中（~E，~E）的可测量性→~Pt（（s，x），B）代表B∈我们必须考虑非常大的σ-代数Ohm). 如果（s，x）7→Ps，s+t（x，B）是B（R）≥0)E-可测量所有B∈ B（R）≥0)对于较小的乘积σ-代数E:=B（R），时空过程也可以实现≥0)  E和A:=B（R）≥0)  一个Ohm （请注意，E~E和~A)A）。在这种情况下，P（r，x）=δr P（r，x）对于B=[a，B]×B，B∈ E、 传递函数的定义简化为Pt（（s，x），B）=Pt（（s，x），[a，B]×B）=Ps，s+t（x，B）I[a，B]（s+t）。（1.6）如果我们在定义1.3的意义上考虑马尔可夫过程，则可以简化转换。在这种情况下，“E值过程”Xt（ω）=（t，Xt（ω））是原始过滤概率空间上的时间齐次马尔可夫过程。关于转移函数可测性的评论仍然成立。定义1.9：对于所有x，过渡函数{Ps，t}称为随机连续函数∈ EPs，S（x，·）d→ Pt，T（x，·），无论何时（s，s）→ （t，t）带0≤ s≤ S和0≤ T≤ T.对于定义1.6意义上的马尔可夫过程，有一系列概率测度。

因此，马尔可夫过程的随机连续性由转移函数{Ps，t}的弱收敛性表示。请注意，这一定义意味着以下意义上的概率收敛。考虑连续函数f（x） =|x|∧ 1.在定义1.3的固定概率测度P下，orP等于定义1.6的任何测度P（r，x），lims→tP（| Xt）- Xs |>) ≤ 林斯→tE[E[f（Xt）- Xs）|Fs]]=E林斯→tZf（y）- Xs）Ps，t（Xs，dy）= E[f(0)] = 0.因此，X满足了随机连续性的通常定义，即X收敛到s的Xtin概率（P以下）→ t、 在后面的章节中，我们将使用完整的过滤概率空间（见Revuz和Yor[42]，第0.3节）和随机过程的修正（见Revuz和Yor[42]中的定义I.1.6和I.1.7）。我们想澄清如何理解这一点。定义1.10：设（A，A）是一个具有概率测度P的可测空间。尽快定义的完成API：={B A:B、 B∈ A:B B B、 P（B\\B）=0}。将概率测度推广到B∈ 通过设置P（B）：=P（B）=P（B）。（A，A）上的子σ-代数F由fp:={A:B∈ F:P（A\\B）∪ B\\A）=0}。完成的σ-代数包含P-测度零集的所有子集，对于FP也是如此。完成σ-代数（以及一般添加空集）不会破坏马尔可夫性质（见下面的引理1.11）。设X和X是两个E值随机过程(Ohm, A、 P）。如果P（Xt=~Xt）=1表示所有t≥ 0.如果（X，F，{P（s，X）}）和（~X，F，{P（s，X）}）是定义1.6意义上的马尔可夫过程，它们是彼此的修正，如果P（s，X）（Xt=~Xt）=1表示所有（s，X）。我们现在已经准备好，来建立下面的简单引理。引理1.11：如果X是马尔可夫过程(Ohm, A、 F，P），它也是完备空间上的马尔可夫过程(Ohm, AP，FP，P）和FP=（FPt）t≥0

此外，任何对X的修改都必须满足Xs= 暗示Xt= 总的来说，t>s是一个马尔可夫过程(Ohm, AP，FP，P）。此外，过渡函数是相同的。证据X仍然是FP自适应的，条件期望不受添加的度量值0的影响。由于过滤包含所有测量值0，因此仍需进行修改。由于P（{Xt6=Xt}）=0，它仍然是一个马尔可夫过程。在这篇论文的其余部分，如果我们明确考虑定义1.6意义上的马尔科夫过程，而马尔科夫过程X可以引用这两个定义中的任何一个，我们将写出（X，F，{P（s，X）}）。如果要从定义1.3的意义上理解马尔可夫过程X，我们将明确指定潜在的概率空间(Ohm, A、 1.2从现在开始考虑状态空间E, 其中E是d维实向量空间V的闭子集（想想Rd，但它也可以是不同的空间，比如Rn×n上的正有限矩阵空间，它与Rn（n+1）/2同构）。假设1:E包含一个有效基，即d+1元素x，xd，就是这样- 十、除息的- 我们是线性独立的。对于E，考虑Borelσ-代数E=B（E）。我们使用kk=∞.defineu={u∈ V+iVx7→ ehu，xi是E}（1.7）中的一个有界函数∈ U有界函数fu（x）：=ehu，xix∈ E、 傅() := 0.定义1.12：如果存在函数Φs，t:U，则称为时间非齐次跃迁函数{Ps，t}→ C和ψs，t:U→ V+iV代表0≤ s≤ 对你来说不是这样的∈ U、 x∈ EPs，tfu（x）=Φs，t（u）ehψs，t（u），xi。（1.8）如果时间非齐次马尔可夫过程的转移函数为函数，则该过程为函数。如果过渡函数是时间均匀的（即Ps，t=Pt-s） ，则ptfu（x）=Φt（u）ehψt（u），xi（1.9），其中Φt（u）：=Φ0，t（u）和ψt（u）：=ψ0，t（u）。过程的一个有效属性是转移算子的一个属性。

因此，它不依赖于马尔可夫过程的定义（定义1.3与定义1.6）。对状态空间的限制并不是真正的限制。函数性质自动扩展到一个集合的闭包，人们总是可以传递到一个低维的环境向量空间V，因此假设1是完整的（见Cuchiero和Teichman[10]）。只要Φs，t（u）6=0，我们就可以找到一个函数φ（它是唯一的，只能加上2πi的倍数），这样Φs，t（u）=eφs，t（u）。在这种情况下，方程式（1.8）可以写成asPs，tfu（x）=eφs，t（u）+hψs，t（u），xi。（1.10）这种指数形式是命名过程的一个动机。注意，如果（X，F，{P（s，X）}）是一个有效过程，那么对于r，s，t≥ 0E（r，x）ehu，Xt+si | Fs= Φr+s，r+s+t（u）ehψr+s，r+s+t（u），Xsi，对于s=0 yieldsE（r，x）ehu，Xti= Φr，r+t（u）ehψr，r+t（u），xi。上述方程中的指数函数与传统f定义得很有意义() = 0，即ehu，i=0。在本章中，这样的方程式将被频繁使用。文献中广泛研究了时间均一过程，例如，参见Du ffee等人[16]的开创性工作，以及Cuchiero and Teichmann[10]，Keller Ressel等人[37]的文章，这些文章在精神上与这种处理方法类似。通过引理1.8，时间非齐次马尔可夫过程可以推广到时间齐次时空过程。a ffine属性仅部分地传递给时空过程。引理1.13：设X是一个马尔可夫过程，具有一个有效的转移函数。然后时空过程X的时间齐次转移函数{Pt}：=（Θ，X）来自引理1.8，满足u∈ C≤0，u∈ U和f（U，U）（s，x）：=eusfu（x）~Ptf（U，U）（s，x）=eutΦs，s+t（U）eus+hψs，s+t（U），xi。（1.11）证据。