套利定价中效用最大化者的最优策略

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英文标题：
《On optimal strategies for utility maximizers in the Arbitrage Pricing
  Model》
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作者：
Miklos Rasonyi
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We consider a popular model of microeconomics with countably many assets: the Arbitrage Pricing Model. We study the problem of optimal investment under an expected utility criterion and look for conditions ensuring the existence of optimal strategies. Previous results required a certain restrictive hypothesis on the tails of asset return distributions. Using a different method, we manage to remove this hypothesis, at the price of stronger assumptions on the moments of asset returns.
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中文摘要：
我们考虑一个流行的微观经济学模型，该模型包含可数资产：套利定价模型。我们研究了在期望效用准则下的最优投资问题，并寻找确保最优策略存在的条件。之前的结果要求对资产收益分布的尾部进行一定的限制性假设。使用另一种方法，我们设法消除这一假设，但代价是对资产收益时刻做出更有力的假设。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> On_optimal_strategies_for_utility_maximizers_in_the_Arbitrage_Pricing_Model.pdf (190.32 KB)

2022-5-10 20:01:32 上传

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关键词：效用最大化 最优策略 套利定价 最大化 Mathematical

关于套利定价模型Mikl\'os R\'asonyi中效用最大化的最优策略*2021年11月24日摘要我们考虑了一个受欢迎的具有可数个集合的微观经济学模型：套利定价模型。我们研究了在期望效用准则下的最优投资问题，寻找最优策略存在的条件。之前的结果要求对资产收益分布的尾部进行某种限制性假设。我们使用不同的方法来消除这一假设，代价是对资产回报的时刻做出更有力的假设。2010年理学硕士学科分类：主要学科：91B16、91B25；第二：49M99,93E20关键词：效用最大化、大型金融市场、最优策略、风险中性措施1简介套利定价模型最早是在Ross（1976）提出的。Huberman（1982）阐明了相关数学。该模型已成为经济理论课程的标准材料，Huang&Litzenberger（1988年），也启发了金融数学的深远发展，即所谓的“大型金融市场”理论：s e e e e.e.例如K abanov&Kramkov（19941998年）、Klein&Schachermayer（1996a、1996b年）、Klein（200年）、Rokhlin（2008年）和Cuchieroet al（2015年）。大型金融市场是分析债券市场等多种资产市场的合适框架。Arbitr age定价模型是一个单期市场模型，包含数量有限的资产。从渐进的角度考虑，这使得研究大型投资组合中的多元化效应成为可能。

排除各种渐进套利机会会导致对参数的定性结论（见假设2.2 b e low以及Kabanov&Kramkov（1998））进行实证检验，甚至可以用于设定定价目的，见Ross（1976）、Huberman（1982）、Huang&Litzenberger（1988）。本文讨论了具有期望效用的最优投资问题。继续在Rasonyi（20 16）中开始的工作，*匈牙利科学院阿尔弗雷恩伊数学研究所，布达佩斯。电子邮件：rasonyi@renyi.mta.huwe寻求套利定价模型存在最优投资组合的一般条件。许多资产背景下的存在定理都是深入研究的重点，请参见Kramkov&Schachermayer（1999年）、Kabanov&Stricker（2002年）、Schachermayer（2001年）、Biagini&Frittelli（2005年）、Owen和ˇZitkovi\'c（2009年），仅举几例。知道有一个乐观主义者会带来多方面的好处：这本身就是一个令人放心的事实，因为很少能找到明确的公式；它有助于确定潜在市场和投资者偏好的条件，这些条件对于一个适定问题是必要的；最后，它通常构成最终数值方法的基础，以找到优化者。在大型金融市场的背景下，DeDonno et al.（2005）首次调查了效用最大化中存在的优化因素。他们与“广义战略”家族合作，粗略地说，这一家族将pond与许多资产的投资回报（在适当的拓扑结构中）的结束相关联。因此，他们的优化器缺乏对众多资产组合的解释。与这个问题有关的部分数学困难来自这样一个事实，即不容易描述这个闭包。

本文件的第一个主要贡献是提供合理的条件，使简单的字符化成为可能，见下文引理4.3。这些结果最初是在公司paperR\'asonyi（2016）中获得的，但前提是严格的假设，特别是要求资产回报率取任意大的正值和负值。在本文中，我们试图通过对资产收益尾部施加更严格的可积性条件来消除这一假设。详见第3节。我们的第二个主要贡献是确定存在n个最优投资，见下面第3节的定理3.5。通过这种方式，我们补充了R\'asonyi（2016）的早期结果。Pr OOF将在第4节中给出，而第5节包含辅助结果。2设置为x∈ 我们表示x+：=max{0，x}和x-:= 最大{0，-x} ，x的正/负部分(Ohm, F、 P）是一个概率空间。随机变量X对某个测度Q的期望(Ohm, F） 由等式[X]表示。如果Q=P，我们去掉下标。lp是关于p的p-可积随机变量集，对于p≥ 1.我们使用L∞表示（本质上）有界随机变量的族（关于P）。当X∈ 五十、 我们将其方差定义为Var（X）：=E（十）- （前）. （1） 符号~ 表示度量的等价性。我们现在简要介绍Ar比特率定价模型，重点介绍数学方面。我们假设所考虑的经济体包含回报率sr=r的集合；Ri:=ui+’βiεi，1≤ 我≤ M（2） Ri:=ui+mXj=1βjiεj+βiεi，i>m，（3）其中εi是r和om变量，而ui，βi，βi是常数。资产0代表一项无风险投资，回报率r不变∈ R

为了简单起见，从现在开始，weset r=0。随机变量Ri，i≥ 1代表今天投资价值1美元的资产i所产生的收益（或损失）。随机变量εi，i=1，m是影响所有资产回报率的因素≥ 1而εi，i>m是特定于单个资产ri，i>m的随机源。我们假设εi是平方可积的独立随机变量，满足E[εi]=0，Eεi= 1.我≥ 1.（4）我们进一步假设βi6=0，i≥ 1.备注2.1。我们在两个方面偏离了罗斯（1976）最初的定义。首先，在那篇论文中，εi仅假设为不相关。然而，在目前的情况下，这个条件似乎很弱，无法获得有趣的结果，见R’asonyi（2004）的第4篇。因此，正如Kabanov&Kramkov（1998）和Raso nyi（2004）一样，我们采用了独立的εi。其次，在Ross（1976）中，没有假设要素资产Ri，1≤ 我≤ m是可交易的。这是我们需要的一个相当温和的附加假设，就像卡巴诺夫和克拉姆科夫（1998年）、拉桑尼（2004年）所说的那样。资产0，…，中的投资组合ψ，k是任意序列ψi，0≤ 我≤ 满足kxi=0ψi=0的实数k。（5） 这意味着我们今天在各自的资产中投资ψIdolars，投资加起来等于我们的初始资本0（任意初始资本可以同等对待，为了简单起见，我们再次选择0）。这样的一本书明天将有一个valuev（ψ）：=kXi=0ψiRi（6）。当R=0时，每个投资组合的特征是ψ，ψk.我们通过引入GBi:=-ui′βi，1≤ 我≤ M（7） 比：=-ui′βi+mXj=1ujβji′βj′βi，i>m.（8）资产回报率采用以下形式：Ri=’βi（εi- bi），1≤ 我≤ M（9） Ri=mXj=1βji（εj- bj）+βi（εi- bi），i>m.（10）很容易看出setJ:={V（ψ）：ψ是资产R，…，Rk}（11）与j:=（kXi=1φi（εi）重合- bi）：φ。

，φk∈ R） 。（12） 这促使我们将基本策略E定义为序列集φ={φi，i≥ 1} 真的麻木了，对一些人来说≥ 1，φi=0，i>k。每个φ∈ E、 我们设定v（φ）：=∞Xi=1φi（εi）- bi）。（13） 这是对符号的一种轻微滥用，但它是由等式J=J证明的。从现在起，我们将仅在（13）的意义上使用V（φ）。我们将E解释为一组可能的投资组合，只使用有限的多个资产。对于φ∈ E、 明天的值由V（φ）给出。定义K:={V（φ）：φ∈ E} 。本文是关于投资组合集合的优化。由于K在任何合理的意义上都无法关闭，我们没有希望找到一个乐观主义者init。因此，一个自然的想法是以下面的方式扩大可接受的投资组合。假设2.2。我们有∞Xi=1bi<∞. （14） 正如R\'asonyi（2004）和R\'asonyi（2016）第3节所解释的，由于消费2.2相当于没有特定类型的渐进套利（在罗斯（1976）、胡伯曼（1982）的意义上），因此它是对市场参数的合理炒作。允许l:= {φi:P∞i=1φi<∞} 是平方和序列族。还记得吗l是具有| |φ范数的Hilbert spa ce||l:=聚丙烯∞i=1φi.我们设定为：l, 这将是一套策略，我们将根据这些策略来制定我们的效用最大化问题。在假设2.2下，我们定义V（φ）：=P∞i=1φ（εi）- bi），其中级数在L中收敛。现在设置K:={V（φ）：φ∈ A} 。在适当的假设下，如果K上有一个上确界，则可以在同一类中找到一个最大imizer，见下面的定理3.2和3.5。3最优策略的存在性t u:R→ R是一个凹的、不减损的函数。

我们希望证明有一种策略*∈ A′（u）使得e[u（V）（φ*))] = supφ∈A′（u）E[u（V（φ））]，（15）其中′（u）：={φ∈ A:EU-（V（φ））< ∞} （16） 是优化问题（15）有意义的一组策略。这是一个风险规避代理人从终端投资组合财富中最大化其预期效用的最优投资的概率，参见F¨ollmer&Schied（2002）第s 2章和第3章，以了解关于Fitelymany as集合的详细讨论。我们回顾了R\'asonyi（2016）中获得的结果。这篇论文的关键假设如下。假设3.1。每x≥ 0，波辛菲≥1P（εi>x）>0和infi≥1P（εi<- x） >0（17）保持。此外，苏皮∈NE[εi{|εi|≥N} ]→ 0，N→ ∞. （18） 现在，我们给出了R\'asonyi（2016）的定理4.7。定理3.2。让你：R→ R为凹形且不递减，满足U（x）≤ C（xα+1）对所有x≥ 0，（19）有些C>0，0≤ α < 1. 在假设2.2和3.1下，存在φ*∈ A′（u）使得e[u（V）（φ*))] = supφ∈A′（u）E[u（V（φ））]。 （20） 在预发的文章中，我们的目的是通过提供可选条件下的优化器来补充Theo rem 3.2。而假设3.1中的（18）是相当温和的，（17）则有一定的限制性：它排除了所有ε都是有界随机变量的情况。因此，最好取消条件（17）。在下面的定理3.5中，我们设法做到了这一点，同时要求εithan（18）上有更多的可积性。假设3.3。存在γ>0，使得γ|εi | i<∞, （21）对于所有i，P（εi<bi），P（εi>bi）>0。（22）备注3.4。ar比特率策略（如F¨ollmer&Schied（2002））是∈ E使得V（φ）≥ 0 a.s.和P（V（^φ）>0）>0。我们说，如果没有套利策略，那么在给定的市场中，无套利条件（NA）成立。（NA）是存在（15）最大化r的必要条件，当nu严格增加时。

我没有，没有*如果^φ违反（NA）：asV（φ*+^φ) ≥ V（φ）*) 存在一个正概率的严格不等式，策略φ*+^φ优于φ*.在我们的设置中，条件（22）很容易被认为意味着（NA）：对于任何φ∈不等于零的E，P（PNi=1φi（εi- bi）<0）≥气∈L+（φ）P（εi<bi）Qi∈L-（φ） P（εi>bi）>0，因为两个集合L+（φ）中至少有一个：={1≤ 我≤N:φi>0}，L-(φ) := {1 ≤ 我≤ N：φi<0}是非空的。相反，如果（22）失败，那么（NA）显然被违反。这表明在我们的市场模型中（22）正是（NA）条件。这篇文章的主要结果现在已经陈述。定理3.5。让你：R→ R为凹形且不递减，满足U（x）≤ C（xα+1）对所有x≥ 0，（23）u（x）≤ C(-|x |β+1）对于所有x<0（24）且s ome C，C>0，0≤ α < 1 < β. 在假设2.2和3.3下，存在φ*∈ A′（u）使得e[u（V）（φ*))] = supφ∈A′（u）E[u（V（φ））]。（25）备注3.6。请注意，假设3.3和3.1都不意味着另一个：（17）强于（22），而（18）弱于（21）。因此，定理3.5构成定理3.2。请注意定理3.5中的条件（24），即定理3.2中的条件。由于u是凹形且不递减的，（24）始终保持β=1。因此，施加β>1只是一个轻微的额外要求。4假设3.3中的证明条件（21）意味着族{V（φ）：φ∈ E、 | |φ||l≤δ} 具有非常强的指数一致可积性，对于δ>0足够小的情况，请参见下一个引理和随后的注释。引理4.1。在条件（21）下，存在δ>0，使得supφ∈E、 | |φ||l≤δEe | P∞i=1φiεi |（26）是有限的。证据对于每一个i和所有的t，用| t |≤ γ/2在0和t之间有一个随机变量ξi（t），使得etεi=1+tεi+tεieξi（t）εi.（27）如下：etεi≤ 1+tEhεieγ|εi |/2i。

（28）通过对数的基本性质和（21），|ln Eetεi| ≤ ctEhεieγ|εi |/2i≤ 对于足够小的t，比如对于| t |≤ T，一些常数c，c，T>0，与i无关。如果i>N的φi=0，那么我们就有了eHEP∞i=1φiεii=NYi=1Eeφiεi≤ eCPNi=1φi（30），前提是|φi |≤ 所有i的min{T，γ/2}。这意味着，由e | x|≤ ex+e-x、 Ehe | P∞i=1φiεi |i≤ 2 eCPNi=1φi=2 eCkφkl, （31）所有∈ 带kφk的El≤ min{T，γ/2}，所以可以设置δ：=min{T，γ/2}。备注4.2。引理4.1意味着{e|P∞i=0φiεi |：φ∈ E、 | |φ||l≤δ} 对于所有δ<δ，更确切地说，族{P∞i=0φiεi |：φ∈ E、 | |φ||l≤ 1} 也是一致可积的。我们需要在随后的论证中得出后一个结论。我们想知道这是否可以从弱于（21）的可积条件中推导出来。我们用byK表示K关于概率收敛的闭包。引理4.3。让假设3.3中的假设2.2和（21）生效。然后K=K，所以集合K的概率是闭合的。证据我们有E A每一天∈ A、 V（φ（n））→ V（φ）在陆地上的概率也是如此，其中φ（n）∈ E等于φi（n）=φi，i≤ n、 φi（n）=0，i>n。因此K在K中是稠密的，这足以证明Kis闭不概率。设φ（n）∈ A使得V（φ（n））→ 对于一些随机变量X.Wemay和will，假设φ（n）∈ 首先让我们考虑一下supn | |φ（n）的情况||l= ∞. 通过提取子序列（我们继续用n表示），我们可以并将假定| |φ（n）||l→ ∞, N→ ∞. 定义φi（n）：=φi（n）/| |φ（n）||l对于所有的n，i.显然，~φ（n）∈ 带| |φ（n）的A||l= 1安德林→∞V（△φ（n））=0a.s.（32）设M:=pP∞i=1bi。我们显然有| P∞i=1|φi（n）bi |≤ M代表所有n.注释4.2，族| V（124;φ（n））|，n≥ 1是一致可积的，其中V（)φ（n））→ 0在拉斯韦尔。但这是荒谬的，因为对于所有的n，var（V（~φ（n））=1≥ 1.

这个矛盾表明，必然是supn | |φ（n）||l< ∞.然后有一个子序列是弱收敛的l根据应用于l, 合适的凸组合sbφ（N）：=NNXk=1φnk（33）与子序列nksbφ（N）- φ*l=∞Xi=1bφi（N）- φ*我→ 0，N→ ∞, （34）有些人*∈ A=l. 因此，通过系统εi的正交性，i≥ 1英寸长V（bφ（N））- V（φ）*)→ 0，N→ ∞, （35）so Vbφ（N）→ V（φ）*) 在概率上也是如此。Asbφ（N）φ（N），V的子序列的重凸组合bφ（N）→ 概率为X。这意味着V（φ）*) =这个引理的陈述如下。设M表示Q的集合~ P使得所有i的EQRi=0≥ 1.M元素是该市场模型的风险中性指标。M 6=.备注4.4。我们记得如果Q∈ M等于dQ/dP∈ 对于所有φ，LthenEQ[V（φ）]=0∈ A、 参见R\'asonyi（2016）的引理3.4。定理3.5证明的下一个要素是∈ M具有适当的可积性质。引理4.5。假设是这样≥1E|εi|< ∞ （36）假设2.2生效。那么为了所有的p≥ 1存在Q=Q（p）∈ 那么dQ/dP，dP/dQ∈ Lp。证据这个结果基本上遵循了R\'asonyi（2004）中的定理2。以下是该论点的主要内容。定义函数ψ（x）：=1/2+1/（1+ex），x∈ R.利用隐函数定理，在R\'asonyi（2004）中定理2的证明中，存在一个序列ai，i≥ 1和n*∈ 所有人都是这样≥ N*,dQ（N）dP：=∞Yi=Nψ（ai（εi）- bi）Eψ（ai（εi）- bi）（37）定义Q（N）~ P使得等式（N）[εi]=i≥ N.此外，还有一个常数L>0使得| ai |≤ L | bi |代表我≥ N*.