解开错误方向风险：通过改变措施和

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英文标题：
《Disentangling wrong-way risk: pricing CVA via change of measures and
  drift adjustment》
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作者：
Damiano Brigo and Fr\\\'ed\\\'eric Vrins
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  A key driver of Credit Value Adjustment (CVA) is the possible dependency between exposure and counterparty credit risk, known as Wrong-Way Risk (WWR). At this time, addressing WWR in a both sound and tractable way remains challenging: arbitrage-free setups have been proposed by academic research through dynamic models but are computationally intensive and hard to use in practice. Tractable alternatives based on resampling techniques have been proposed by the industry, but they lack mathematical foundations. This probably explains why WWR is not explicitly handled in the Basel III regulatory framework in spite of its acknowledged importance. The purpose of this paper is to propose a new method consisting of an appealing compromise: we start from a stochastic intensity approach and end up with a pricing problem where WWR does not enter the picture explicitly. This result is achieved thanks to a set of changes of measure: the WWR effect is now embedded in the drift of the exposure, and this adjustment can be approximated by a deterministic function without affecting the level of accuracy typically required for CVA figures. The performances of our approach are illustrated through an extensive comparison of Expected Positive Exposure (EPE) profiles and CVA figures produced either by (i) the standard method relying on a full bivariate Monte Carlo framework and (ii) our drift-adjustment approximation. Given the uncertainty inherent to CVA, the proposed method is believed to provide a promising way to handle WWR in a sound and tractable way.
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中文摘要：
信用价值调整（CVA）的一个关键驱动因素是风险敞口和交易对手信用风险之间可能存在的依赖关系，即错误方向风险（WWR）。目前，以合理且易于处理的方式解决WWR仍然具有挑战性：学术研究通过动态模型提出了无套利设置，但计算量大，难以在实践中使用。业界已经提出了基于重采样技术的可行替代方案，但它们缺乏数学基础。这可能解释了为什么《巴塞尔协议III》监管框架没有明确处理WWR，尽管其重要性已得到公认。本文的目的是提出一种新的方法，该方法由一个吸引人的折衷方案组成：我们从一个随机强度方法开始，最终得到一个定价问题，在这个问题中，WWR没有明确进入图片。这一结果是通过一系列测量变化实现的：WWR效应现在嵌入到曝光漂移中，并且这种调整可以通过确定性函数近似，而不会影响CVA图形通常需要的精度水平。通过（i）依赖于全双变量蒙特卡罗框架的标准方法和（ii）漂移调整近似方法产生的预期正暴露（EPE）曲线和CVA曲线的广泛比较，说明了我们方法的性能。考虑到CVA固有的不确定性，所提出的方法被认为是以一种合理且易于处理的方式处理WWR的一种有希望的方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Disentangling_wrong-way_risk:_pricing_CVA_via_change_of_measures_and_drift_adjustment.pdf (1.23 MB)

2022-5-26 23:12:11 上传

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关键词：Mathematical alternatives counterparty Quantitative mathematica

解开错误路径风险：通过措施变更和漂移调整为CVA定价Damiano Brigo*Fr'ed'eric Vrins+第一版：2016年2月29日。本版本：2016年11月10日。信用价值调整（CVA）的一个关键驱动因素是风险敞口和交易对手信用风险之间可能存在的依赖关系，即错误方向风险（WWR）。目前，以一种既合理又易于处理的方式解决WWRin问题仍然具有挑战性：学术研究通过动态模型提出了无套利设置，但计算量大，难以在实践中使用。业界已经提出了基于重采样技术的可行替代方案，但它们缺乏数学基础。这可能解释了为什么《巴塞尔协议III》监管框架没有明确处理WWR，尽管其重要性已得到公认。本文的目的是提出一种新的方法，该方法由一个吸引人的折衷方案组成：我们从随机性方法开始，最终得出一个定价问题，即WWR不能明确进入图片。这一结果是通过一系列测量变化实现的：WWR影响现在嵌入到曝光漂移中，这种调整可以通过确定性函数近似，而不影响CVA图通常所需的精度水平。通过（i）依赖于全双变量MonteCarlo框架的标准方法和（ii）漂移调整近似值产生的预期正风险敞口（EPE）数据和CVA数据的广泛比较，说明了我们方法的性能。

鉴于VA固有的不确定性，所提出的方法被认为是以一种合理且易于处理的方式处理WWR的一种有希望的方法。关键词：交易对手风险、CVA、错误方式风险、随机强度、跳跃差异、计量变更、漂移调整、错误方式计量1简介2008年金融危机强调了在OTC交易估值中考虑交易对手风险的重要性，即使后者是通过（明显不完善的）抵押协议进行担保的。交易对手违约风险要求在评估OTC衍生品时进行价格调整，称为信用价值调整（CVA）。该调整取决于交易组合∏和交易对手C。如果C在投资组合成熟度T之前违约，则它表示投资组合预期损失的市场价值。或者，这可以被视为构成投资组合的金融交易中取代交易对手的今天的价格，例如参见【12】、【14】、【22】。这种调整的数学表达式可以在风险中性定价框架内以相当简单的方式推导出来。然而，在处理错路风险（WWR）时，计算产生的条件预期会带来一些问题，即考虑风险敞口和交易对手信用风险之间可能存在的统计依赖性。已经提出了几种技术来解决这一问题。目前，解决WWR有两种主要方法：动态方法（结构或简化形式）和静态方法（重采样）。第一种方法提供了无套利的设置，在学术研究人员中很受欢迎。不幸的是，它的主要缺点是计算密集且繁琐，这使得它的实际使用很困难。另一方面，第二种方法确实*部门：。

伦敦帝国理工学院数学系，达米亚诺。brigo@imperial.ac.uk+frederic卢旺天主教大学卢旺金融中心和运筹学与计量经济学中心（CORE）。vrins@uclouvain.benot有一个严格的公正性，但有一个很好的特点，即为行业提供一个易于处理的替代方案，以一种非常简单的方式评估WWR。尽管WWR意义重大，但目前在巴塞尔协议III监管框架中并未明确说明WWR；缺乏处理CVA的合理替代方案可能是原因之一。在本文中，我们重新探讨了WWR下的CVA问题，并提出了一种有吸引力的方法，以合理但易于处理的方式来处理它。我们展示了如何将有WWR的CVA写为无WWR的CVA，前提是相应修改了暴露动态。这将通过一组被称为“错误方式措施”的措施来实现。本文的组织结构如下。第2节回顾了有无WWR的基本CVA定价公式。接下来，在第3节中，我们简要回顾了解决WWRin CVA计算的最流行技术。然后，我们将重点放在违约风险在随机强度框架下管理的情况，并更具体地考虑考克斯过程设置。第4节介绍了一组新的num'eraires，这些num'eraires将生成称为错误方式度量（WWM）的等价鞅度量。有了这些新的措施，有WWR的CVA问题与没有WWR的CVA问题具有类似的形式，前提是我们改变了计算正暴露预期的措施。第5节专门计算WWM下的暴露动力学。

特别注意的是在一个有效强度模型下的随机漂移调整。为了降低定价问题的复杂性，采用确定性函数逼近随机漂移调整；因此，WWR影响通过确定性调整完全封装在曝光漂移中。最后，第6节对拟议方法的性能进行了广泛分析，并将其与标准随机强度方法进行了比较，标准随机强度方法的特点是对控制违约强度（信用利差风险）和投资组合价值（市场风险）联合动态的二元随机微分方程（SDE）进行欧拉分解。2交易对手风险调整确定短期（无风险）利率过程r=（rt）t>0和相应的银行账户编号eraireBt：=ERTRSDS，以便定义B=（Bt）t>0具有动态性：dBt=rtBtdt。在无套利假设下，存在与该数值相关的风险中性概率度量Q，即它使所有B贴现的非股息支付可交易资产成为Qmartingales。在此设置中，CVA可以计算为Q-交易对手违约导致的未收回损失的预期，根据B进行贴现。更明确地说，如果R代表C的收回率，VT是时间t时∏的收尾价格，通过随机变量τ>0对违约时间建模的与交易对手C交易的投资组合∏的CVA的一般公式如下（参见示例【11】）：CVA=EB（1）-R） 1I{τ6T}V+τBτ= （1）-R） 电子商务电子商务HTV+τBτσ（Hu，0 6 u 6 t）其中，eb表示Q下的期望运算符，H：=（Ht）t>0是定义为Ht：=1I{τ6t}的默认指标过程，第二个等式来自于假设R是一个常数和塔属性。

外部期望可以写成关于风险中性生存概率g（t）：=Q[τ>t]=EB的积分1I{τ>t}.生存概率是一个确定性的正递减函数，满足G（0）=1，通常表示为G（t）=e-Rth（s）dsh是一个称为危险率的非负函数。在实践中，该曲线是从证券的市场报价中引导出来的，由其信誉驱动，我们假设这对应于投资组合的无风险价格，这是最常见的假设，称为“无风险平仓”，即使可以做出其他选择，如替代平仓，参见示例[13]，[14]C，即可违约债券或信用违约掉期（CDS）。如果τ允许密度，则CVAthen的表达式为cVa=-（1）- R） ZTEB公司V+tBtτ=tdG（t）。（1） 在投资组合∏独立于τ的情况下，可以放弃上述期望中的条件，以获得所谓的标准（或独立）CVA公式：CVA⊥= -（1）-R） ZTEB公司V+tBtdG（t）。（2） 其中上标⊥ 通常表示相关数量是在独立假设下计算的。与生存概率相关的确定性函数被称为（贴现）预期正风险敞口，也被称为首字母缩略词EPE：EPE⊥（t） ：=EBV+tBt.在这种独立性假设下，CVA采用行使权为0的欧洲看涨期权价格的加权（连续）和的形式，其中期权的基础是投资组合∏的残值。3错误方向风险在∏的市场价值取决于违约时间τ的更一般情况下，我们不能放弃预期（1）中的条件，并且必须考虑信贷和敞口之间的依赖关系。

根据这种关系的符号，更一般地，根据Portfolio值和默认时间的联合分布，这可以增加或减少CVA；当CVA增加时，这种影响称为错误方向风险（WWR）。当CVA降低时，这称为向右风险。在本文中，我们将使用术语“错误方向风险”来粗略地表示这两种情况。为了捕捉这种影响，我们需要对风险敞口和信贷进行联合建模。第一位作者和合著者在一系列论文中率先提出了有关WWR的文献，使用了跨资产类别的各种建模方法。在利率市场中，[16]通过信用风险强度模型研究了无抵押利率组合的WWR分析，而[8]研究了抵押利率组合的WWR。对于信贷市场，尤其是无抵押CDS，在[9]中考虑了WWR，其中使用了强度模型和copula函数；使用文献[7]中相同的技术工具研究了具有抵押品和缺口风险的有抵押CDS的WWR。商品的WWR，尤其是石油掉期，已在[6]中通过强度模型进行研究，而权益的WWR则在[15]中借助分析可跟踪的FirstMessage（AT1P）企业价值模型进行研究。这些研究中的大多数都在专著中进行了总结【14】。3.1两种方法解决一个问题文献中提出了两种解决WWR的主要方法。它们都旨在以一种易于处理的方式将投资组合价值和违约可能性耦合起来。第一种方法（称为动态）包括使用随机过程建模信用价值。在第一类模型中，有两种设置。第一个动态设置（结构模型）依赖于默顿的方法来建模设定值。一旦公司价值低于代表公司资产水平的障碍，即会出现违约。

一般而言，这种方法在信用风险中非常流行，但定价目的除外，因为人们知道这种方法低估了短期违约（参见[2、14、15]和其中的参考文献，了解使用结构信用模型的CVA定价方法）。第二个动态设置（简化模型）包括通过随机强度过程建模默认可能性。在此设置中，默认值是不可预测的；仅对默认可能性进行建模。在续集中，我们将自己局限于随机强度模型，这是CVA中最流行的动态设置（例如，参见[14]、[16]、[23]、[26]）。请注意，最近提出了其他信用风险建模和CVA定价方法（参见[29]和[24]），但此处不考虑这些方法。第一类模型在数学上是合理的，因为如果处理得当，它可以无套利。然而，正如【26】所指出的，处理这种额外的随机过程可能需要大量的计算。所以，实践者开发了第二类称为静态的模型，以消除这些困难。它们包括使用copula将风险敞口和信贷耦合起来，copula是一个特定函数，它从单变量分布中创建了一个有效的多变量分布（这不能与[7]中使用的连接两个默认时间的copula相混淆，从而在该上下文中得到更严格的公式）。这种方法也称为重采样技术，在从业者中非常流行，因为它大大简化了根据WWR评估CVA的方法。特别是，从数字上讲，有趣的是，在第一阶段，人们可以分别考虑风险敞口和信贷，然后在第二阶段，通过连接相应的分布，引入后验概率的依赖性影响（有关该技术的进一步阅读，请参见[26]和[28]）。

显然，这种将风险敞口和信用风险结合起来的方式有点艺术化。特别是，与前面列出的WWR方法相反，我们知道它可以避免潜在的套利机会。总之，有两类模型：计算量大且难以实际使用的动态无套利模型，以及没有完善的数学调整但为行业提供了易于处理的替代方案的静态重采样模型。在本文后面，我们将解释如何在不带来不便的情况下，开发一个包含静态和动态方法中最好的方法的框架。特别是，我们借助度量值的变化绕过了随机强度模型固有的技术困难。在此之前，我们将向读者提供有关随机强度模型设置的其他详细信息。3.2随机强度模型下的CVA简化方法依赖于过滤的变化。过滤G：=（Gt）t>0表示市场上投资者可获得的全部信息。在我们的背景下，这可以被视为所有相关资产价格和/或风险因素。因此，这里考虑的所有随机过程都定义在一个完整的过滤概率空间上(Ohm, G、 G=（Gt）06t6T，Q），其中Q为风险中性度量，G：=gtt为投资期限（此处可将其视为投资组合到期日）。我们可以定义：=（Ft）06t6Tas G的最大细分，防止默认时间τ成为F停止时间。换言之，F包含与G相同的信息，但默认指标过程H不可观测（即。

H适用于G，但不适用于F）。换句话说，我们假设总市场过滤G在F中是可分离的，而纯违约监测过滤H中，H=（Ht）06t6T，Ht=σ（Hu，0 6 u 6 t），Gt=Ht∨ Ft.解决违约问题的一个关键数量是Az'ema（Q，F）-超级马丁格尔（见[19]），定义为生存指标H对子过滤F的预测：St：=EB1I{τ>t}| Ft= Q[τ>t | Ft]。对STI的财务解释是在t时的生存概率，仅观察到无违约过滤F到t以及任何名称的违约监测H。形式上，随机过程S根据迭代期望定律与生存概率G联系在一起：EB[St]=EB1I{τ>t}| Fti=EB1I{τ>t}= Q[τ>t]=G（t）。（3） 在许多实际应用中，曲线G是从市场报价（债券或信用违约掉期）中获得的。在这种情况下，上述关系对S的动力学施加了约束，因此等式EB【St】=G（t）被称为校准方程。随机演算的一个非常重要的结果是所谓的关键引理（引理3.1.3。in[3]），它允许去掉显式的默认时间τ，而将重点放在Az'ema上鞅上。将此引理应用于CVA可得出以下方程式，只要VτHTis Q-可积且V是F-可预测的，则该方程式成立：CVA=（1- R） 电子商务V+τBτ1I{τ6T}= -（1）-R） EB“ZTV+tBtdSt#。（4）在我们的CVA上下文中，第二个条件相当于说投资组合∏不允许显式依赖于τ。例如，它不能包含参考实体正是交易对手C的公司债券。通过在任何可能的小间隔内定位违约时间，可以直观地理解上述结果（t，t+dt），对于跨越整个到期期限的t[0，t]。