中期权定价的高阶紧致差分格式

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英文标题：
《High-order compact finite difference scheme for option pricing in
  stochastic volatility jump models》
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作者：
Bertram D\\\"uring, Alexander Pitkin
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We derive a new high-order compact finite difference scheme for option pricing in stochastic volatility jump models, e.g. in Bates model. In such models the option price is determined as the solution of a partial integro-differential equation. The scheme is fourth order accurate in space and second order accurate in time. Numerical experiments for the European option pricing problem are presented. We validate the stability of the scheme numerically and compare its performance to standard finite difference and finite element methods. The new scheme outperforms a standard discretisation based on a second-order central finite difference approximation in all our experiments. At the same time, it is very efficient, requiring only one initial $LU$-factorisation of a sparse matrix to perform the option price valuation. Compared to finite element approaches, it is very parsimonious in terms of memory requirements and computational effort, since it achieves high-order convergence without requiring additional unknowns, unlike finite element methods with higher polynomial order basis functions. The new high-order compact scheme can also be useful to upgrade existing implementations based on standard finite differences in a straightforward manner to obtain a highly efficient option pricing code.
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中文摘要：
我们推导了一种新的高阶紧致有限差分格式，用于随机波动率跳跃模型（如Bates模型）中的期权定价。在这种模型中，期权价格被确定为偏积分微分方程的解。该格式在空间上具有四阶精度，在时间上具有二阶精度。给出了欧式期权定价问题的数值实验。我们用数值方法验证了该格式的稳定性，并将其性能与标准有限差分法和有限元法进行了比较。在我们的所有实验中，新格式优于基于二阶中心有限差分近似的标准离散化。同时，它非常有效，只需对稀疏矩阵进行一次初始的$LU$因子分解即可进行期权价格估值。与有限元方法相比，它在内存需求和计算工作量方面非常节省，因为它实现了高阶收敛，而不需要额外的未知量，这与具有更高多项式阶基函数的有限元方法不同。新的高阶紧致方案还可用于以直接方式升级基于标准有限差分的现有实现，以获得高效的期权定价代码。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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关键词：期权定价 Requirements Quantitative parsimonious Differential

随机波动率跳跃模型中期权定价的高阶紧有限差分方案Bertram D¨uringa，*, Alexander PitkinaaSussex大学数学系，Pevensey II，Brighton，BN1 9QH，英国。摘要我们推导了一种新的高阶紧有限差分方案，用于随机波动率模型（如Bates模型）中的期权定价。在这种模型中，期权价格是通过部分积分微分方程的解来确定的。该格式在空间上具有四阶精度，在时间上具有二阶精度。给出了欧式期权定价问题的数值实验。我们从数值上验证了该方案的稳定性，并将其性能与标准有限差分法和有限元法进行了比较。在我们的所有实验中，新方案优于基于二阶中心差近似的标准离散化方法。同时，它非常有效，只需对稀疏矩阵进行一次初始LU分解即可执行期权价格估值。与有限元方法相比，它在内存需求和计算效率方面非常节省，因为它实现了高阶收敛，而不需要额外的未知量，这与具有更高多项式阶基函数的有限元方法不同。新的高阶紧凑型方案也有助于以直截了当的方式升级基于标准有限差分的现有实施，以获得高效的期权定价代码。关键词：期权定价、对冲、高阶紧凑型有限差、随机波动率跳跃模型、贝茨模型、有限元法2010 MSC:65M06、91G20、35Q911。

引言金融期权定价的经典模型是Black和Scholes[3]的模型，他们认为标的资产遵循几何布朗运动，波动率恒定。这允许推导简单、封闭形式的期权价格公式，但它无法解释期权市场价格的常见特征，如隐含的波动性微笑（或傻笑）和过度和随机波动。文献中提出了各种各样的期权定价模型来缓解这些缺点。许多*相应的authorEmail地址：bd80@sussex.ac.uk（伯特伦·杜林），A.H。Pitkin@sussex.ac.uk（AlexanderPitkin）最广泛使用的模型具有以下两个特征之一：（i）引入进一步的风险因素，通常是随机波动率[27]，最著名的是Heston随机波动率模型[22]；（ii）潜在随机过程的跳跃，如默顿（Merton）[28]提出的跳跃。1996年，贝茨[1]提出在一个模型中结合这两个特征，现在通常称为贝茨或随机波动率跳跃（SVJ）模型。在该模型中，期权价格作为部分积分微分方程（PIDE）的解给出，参见例[9]。它能够捕捉市场期权价格的典型特征，允许通过随机波动性提高灵活性，同时能够通过基础过程中的跳跃来弥补短期偏差。它现在表明了准市场标准在期权定价应用中的地位。对于一些期权定价模型，可以使用封闭式解决方案（参见示例[11]），或者至少是近似的解析表达式，参见示例[2]和其中引用的时间段。

然而，一般来说，期权定价必须依赖数值方法。对于具有单一风险因素的期权定价模型的数值方法，导致在一个空间维度上的偏微分方程，例如BlackScholes模型的变体s，有大量的数学文献，其中许多依赖于标准的有限差分方法（见例[35]和其中的参考文献）。对于具有跳跃差异的一维模型，我们参考[9、12、4、31、32]。对于具有多个风险因素的期权定价模型，例如在随机波动性模型中，涉及在两个或多个空间维度上求解偏微分方程，工作较少，例如[25]，其中提出了解决美国期权定价问题f或赫斯顿模型的不同有效方法。其他方法包括有限元素有限体积法【37】、多重网格id法【8】、稀疏小波法【24】、基于FFT的方法【30】、光谱法【36】、混合树有限差分法【5】和算子分裂技术【23、15、18、21、16】。对于在底层过程中额外包含跳跃的问题，以及需要在两个或更多空间维度上解决PIDE的问题，这里的工作更少。我们提到了[33，34]，他们提出了隐式-显式时间离散化，并结合了空间中的标准二阶有限差分离散化，以及[19]讨论和分析了显式离散化。文献[7]提出了贝茨模型下美式期权定价的线法算法。

[6]中讨论了另一种方法，作者将树方法和有限差分结合在贝茨模型与随机利率的混合方案中。最近，人们提出了高阶有限差分格式（空间中的四阶）来解决随机波动率模型产生的典型差分方程。[13]推导了赫斯顿模型中期权定价的高阶紧有限差分方案。这种方法在[14]中扩展到非均匀网格，在[17]中扩展到多个空间维度。文献中最初提出的高阶紧致格式用于对相当特殊的问题（如泊松方程或热方程）的数值近似解。在过去二十年中，只有在将这种方法扩展到更复杂、多维或非线性的问题上，才逐渐取得了进展。高阶紧致格式的推导是代数要求很高的，因此这些格式常常是为相当特殊的问题量身定做的。本文的创新之处在于提出了一种新的隐式-显式高阶紧有限差分方案，用于贝茨模型中的期权定价。据作者所知，这是这一非常流行的期权定价模型的第一个高阶方案。它结合了【13】中的高阶紧致方案的一个经过适当调整的版本，以及对匹配高阶的积分项的明确处理，这是受到Salmi等人【33】工作的启发。新的紧致格式在空间上具有四阶精度，在时间上具有二阶精度。我们对模式的稳定性进行了验证，并将其性能与标准有限差分方法和有限元方法进行了比较。新方案优于基于二阶中心差分近似的标准离散化方法。

与有限元方法相比，它在内存需求和计算效率方面非常节省，因为它实现了高阶收敛，而不需要额外的未知量，这与多项式阶数更高的有限元方法不同。同时，新的高阶紧致方案非常有效，只需要稀疏矩阵的一个初始LU分解即可进行期权价格估值。它还可以帮助以直接的方式基于标准有限差升级现有实施，以获得高效的期权定价代码。本文组织如下。在下一节中，我们回顾期权定价的Bat es模型和相关的部分积分微分方程。第3节专门讨论该问题的变量变换。第4节推导了新方案。第5节讨论了初始条件的光滑化和边界条件的离散化。在第6节中，我们陈述了用于数值比较实验的有限元公式。在第7节中，我们给出了数值收敛性和稳定性结果，研究并比较了该方案与其他方法的效率，并研究了其套期保值性能。第8节结束。2、贝茨模型我们回顾了本文重点关注的贝茨模型。贝茨模型是一种随机波动率模型，允许收益跳跃。在该模型中，资产价值S及其方差σ的行为由耦合随机微分方程描述，dS（t）=uBS（t）dt+pσ（t）S（t）dW（t）+S（t）dJ，dσ（t）=κ（θ-σ（t））+vpσ（t）dW（t），对于0 6 t 6 t和S（0），σ（0）>0。此处，uB=r- λξBis漂移率，其中r>0是无风险利率。

跳跃过程J是一个强度λ>0的复合泊松过程，J+1具有对数正态分布p（y），对数中的平均值（y）为γ，对数中的方差（y）为v，即概率密度函数由p（y）给出=√2πИyve-（对数y-γ） 2v。参数ξBis由ξB=eγ+v定义- 1、方差具有平均水平θ，κ是回归到σ平均水平的速度，v是方差σ的波动率。这两个维纳过程与什么相关ρ。通过贝茨模型的标准导数定价论证，我们得到了偏积分微分方程五、t+Sσ五、S+ρvσS五、Sσ+vσ五、σ+（r- λξB）S五、S+κ（θ- σ）五、σ- （r+λ）V+λZ+∞V（Sy，V，t）p（y）dy=LDV+LIV，（1）必须为S求解，σ>0，0≤ t<t，并符合适当的最终条件，例如V（S，σ，t）=最大值（K- S、 0），如果是欧式看跌期权，K表示执行价格。为明确起见，运营商LDV和LIV被定义为不同部分（包括术语-（r+λ）V）和积分部分。3、使用变量sx=log S，τ=T的变换变换方程- t、 y=σvand u=exp（r+λ）V，我们得到τ=vyux个+uy+ρvyux个y-vy公司- r+λξBux+κ（θ- vy）vuy+exp（r+λ）LIV，（2）现在在r×r+×（0，T）上构成，LIV=λZ∞V（Sy，V，t）p（y）dy。对积分项应用相同的变换，LI，exp（r+λ）LIV=λZ+∞u（xy，y，τ）p（y）dy。现在通过设置z=logy，~u（z，y，τ）=u（ez，y，τ）和p（z）=ezp（ez），我们得到exp（r+λ）LIV=λz+∞u（x▄y，y，τ）p（▄y）d▄y=λZ+∞-∞~u（x+z，y，τ）~p（z）dz。该问题由以下初始和边界条件完成：u（x，y，0）=max（1- exp（x），0），x∈ R、 y>0，u（x，y，t）→ 1，x→ -∞, y>0，t>0，u（x，y，t）→ 0，x→ +∞, y>0，t>0，uy（x，y，t）→ 0，x∈ R、 y型→ ∞, t>0，uy（x，y，t）→ 0，x∈ R、 y型→ 0，t>0.4。

隐-显模式遵循Salmi、Toivanen和von Sydow在[33，34]中采用的思想，我们通过IMEX-CN方法及时完成隐-显离散化。该方法是对Crank-Nicholson方法的一种改进，其中对积分算子进行了显式处理。为了实现高阶收敛，我们采用【13】中开发的高阶紧致有限差分格式隐式近似差分算子，同时我们使用辛普森规则显式计算积分，以匹配高阶紧致格式的高阶精度。4.1。微分算子的高阶紧致格式根据[1 3]中采用的离散化，我们将R替换为[-R、 R]和R+通过[L，R]，R，R>L>0。我们考虑一个统一的网格Z={xi∈ [-R、 R）]：xi=ih，i=-NN} ×{yj∈ [L，R]：yj=L+jh，j=0。。。，M} 由（2N+1）×（M+1）个网格点组成，R=Nh，R=L+MH，空间步长h，手时间步长K。设uni，jdenote为（2）in（xi，yj）在tn=nk和letun=（uni，j）时的近似解。4.1.1。椭圆型p问题我们引入了带拉普拉斯算子的椭圆型问题的高阶紧致离散化，-vy公司ux个+uy-yρvux个y-r-vy公司- λξBux个-κ（θ- vy）vuy=f（x，y）。（3） 我们按照[13]中的方法，利用参考网格点（i，j）周围的八个最近相邻点，构造了一个具有九点计算模板的四阶紧致有限差分格式。推导高阶紧致格式背后的思想是将微分方程作为辅助关系进行运算，以获得截断误差中高阶导数的有限差分近似。

在保留紧凑的计算模板的同时，将这些表达式包含在中心差分近似中可提高精确度。在x方向和Y方向引入均匀网格，网格间距h=h=hin，网格点（i，j）处方程式（3）的标准中心差近似为-vyj公司δxui，j+δyui，j- ρvyjδxδyui，j+vyj公司- r+λξBδxui，j- κ（θ- vyj）vδyui，j- τi，j=f（i，j），（4），其中δx和δx（分别为δyand和δy）表示与x相关的一阶和二阶中心差异近似（尤其是y）。相关截断误差由τi给出，j=vyh（uxxx+uy-yyy）+ρvyh（uxxyy+uxxxy）+（2r- vy公司- 2λξB）huxxx+κ（θ- vy）vhuy yy+O（h）。（5） 为了清楚起见，这里省略了yjand ui，j（及其衍生物）上的子指数j和（i，j）。关于x和y的差异（3）分别为产量，uxxx=-uxyy- 2ρuxxy+2λξB+vy- 2rvyuxx-2κ(-vy+θ）yvuxy-vyfx，（6）uy yy=-uy xx- 2ρuy yx-yuxx+2λξB- 2ρv+vy- 2rvyuy x--2κvy+2κθ+vvyuy y+yux+2κvyuy-vyfy。（7） 将方程（6）和（7）分别与y和x微分，并将我们得到的两个表达式uxyyyy+uxxxy=-2ρuxxyy-uxx2y+（2λξB- ρv+vy- 2 r）uxxyvy-(-4κvy+4κθ+v）uxyy2yv-（2λξB- vy公司- 2 r）ux2vy+κ（vy+θ）uxyyv+fxvy。（8） 通过对方程（3）进行两次关于x的微分和两次关于y的微分，并将这两个表达式相加，我们得到uxxx+uy yyy=-2ρuxxxy-2ρuxyyyy-2 uxxyy+2（κvy- v- κθ）vyuxxy-（2r- vy公司- 2λξB）vyuxxx+2（κvy- v- κθ）vyuyyy-(-vy+4ρv- 2λξB+2r）vyuxyy+4κvyuyy+yuxy-vy（fxx+fy y）。（9） 现在，我们将方程（6）–（9）替换为（5），以产生误差项τi的新表达式，j仅由o（h）或o（h）乘以u导数的项组成，u导数可近似于紧凑模板中的o（h）。

在（4）中插入误差项的新表达式，我们得到了部分微分方程（3）的以下O（h）近似值，-4hλξB（λξB+ρv-2） +vyj（vyj- 2κ- 2r）- 2（rρv+κθ+2r- v） +12vyjvyjδxui，j-2 hκvyj- 4 hκθvyj- hκvyj+2 hκθ- hκθv- hv+6 vyjvyjδyui，j-vyjh公司2ρ+1δxδyui，j-(-2 vλρξB- yjρv- κvyj+2 vrρ+κθ）hvδxδyui，j-(-4κρvyj+4ρκθ- 2λvξB- yjv+2 rv）hvδxδyui，j+hκρvyj+vyj- 2rvyj- θvyj+2vyjξB+2rθ- 2θξB- hv（ρv- r+ξB）vyjδxδyui，j+-hκyjv+hκθ- hv+12 vyjλξB+6 yjv- 12 vyjrvyjδxui，j+κ(-hκyjv+hκθ- hv+6 yjv- 6θvyj）vyjδyui，j=fi，j+hρvδxδyfi，j-h（v+κ（v yj- θ） ）vyjδyfi，j-h（2λξB+2ρv+vyj- 2r）vyjδxfi，j+hδxfi，j+hδyfi，j.（10）在网格点（i，j）处考虑的四阶紧致格式（10）涉及最近的八个相邻网格点。