双曲布朗运动的精确模拟

相似文件 换一批

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Towards the Exact Simulation Using Hyperbolic Brownian Motion》
---
作者：
Yuuki Ida and Yuri Imamura
---
最新提交年份：
2017
---
英文摘要：
  In the present paper, an expansion of the transition density of Hyperbolic Brownian motion with drift is given, which is potentially useful for pricing and hedging of options under stochastic volatility models. We work on a condition on the drift which dramatically simplifies the proof.
---
中文摘要：
本文给出了带漂移的双曲布朗运动转移密度的一个展开式，这对于随机波动率模型下期权的定价和套期保值具有潜在的实用价值。我们在漂移的条件下工作，这大大简化了证明。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--

---
PDF下载：
--> Towards_the_Exact_Simulation_Using_Hyperbolic_Brownian_Motion.pdf (121.59 KB)

2022-5-31 11:03:21 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：布朗运动 Applications Differential Quantitative Computation

为了精确模拟双曲布朗运动，本文给出了带漂移的双曲布朗运动转移密度的展开式，这对于随机波动模型下期权的定价和套期保值具有潜在的实用价值。我们在漂移的条件下工作，这大大简化了证明。1引言众所周知，“局部随机波动率模型”可以通过Lamperti变换简化为带漂移的布朗运动。当一个具有随机波动率的工程（此后为SV）建模时，情况并非如此，其中股票价格S及其瞬时波动率V由二维离散过程建模。一般来说，我们无法将其转化为具有漂移的二维布朗运动。然而，正如文献[4]所指出的，大多数现有的随机波动率模型与双曲布朗运动（HBM-forshort）是“保形等价”的；或者换句话说，许多SV扩散过程（S，V）可以通过微分同态随漂移转化为HBM。本文给出了漂移HBM跃迁密度的渐近展开式，与所谓的McKeankernel对应；密度内核。也就是说，HBM没有漂移。我们声称，这个公式可以用于SV模型下的数值计算，尽管在本文中我们将不在这个方向上深入。我们的公式实际上是一个参数公式，因此按照Bally Kohatsu[1]的想法，我们给出了参数公式的精确模拟解释。这里使用术语“精确”，因为它不是近似值，而是等式。它也可以被称为“无偏”，因为它只是模拟（St，Vt）函数的期望值。本文件组织如下。在第2节中，我们简要回顾了HBM的一些基本事实。

在第3节中，我们将漂移引入HBM，并使用HBM（定理2）作为参数来描述其传输密度。在第4节中，我们对定理2中给出的公式进行了解释，从而对精确模拟进行了描述。在本文中，我们仅限于1）处理（4）中给出的简单情况；波动率没有漂移，和（5），这大大降低了戏剧表演的计算复杂性。此外，2）本文省略了SV模型如何转换为HBM的描述。本文的主要目的是证明条件（4）大大简化了证明。2双曲布朗运动在这一节中，我们回顾了双曲布朗运动的基本特征。让n≥ 2 a ndHn：={z=（x，y）=（x，···，xn-1，y）；x个∈ 注册护士-1，y>0}，Rn中的上半空间，赋予Poincar\'e metricds=y-2（（dx）+（dy））。黎曼体积元素由dv=y给出-2dxdy和距离dhn（z，z′），对于z=（x，y），z′=（x′，y′）∈ Hnis由cosh给出（dHn（z，z′）=dRn-1（x，x′）+y+（y′）2yy′。（1） 拉普拉斯-贝尔特拉米算子是n： =yn-1Xi=1xi+yy- （n）- 2） y型y、 我们用qn（t，z，z′）表示关于由生成的半群的体积元素dV的热核n/2；也就是说，tqn公司=nqn，一个度量，在每一点上，是切线空间上m的双线性，或者等价地，是余切空间张量积的一个元素。然后，应将该转换（dx）理解为dx dx等。andlimt公司→0ZHnqn（t，z′，（x，y））f（x，y）y-2dxdy=任何有界连续函数f的f（z′）。换句话说，P（（Xt，Yt）∈ dxdy |（X，Y）=z′）=qn（t，z′，（X，Y））Y-2dxdy，（2）其中（Xt，Yt）是以下随机微分方程的解：dXit=YtdWit，i=1，···，n- 1，dYt=YtdWnt，（3）其中W，·····，wn是概率空间上定义的相互独立的布朗运动(Ohm, F、 P）。

分歧（X，Y）是与半群相关的分歧第2页。已知Qnar的以下公式（参见[2]和[6]）：定理1。体积形式的热核有以下显式表达式。i） （McKean核）在n=2的情况下；q（t，z，z′）=：p（t，r）=√2e类-t/8（2πt）3/2Z∞苏格兰皇家银行-b/2t（cosh（b）- cosh（r））1/2db。ii）（米尔森公式）表示n≥ 2，我们有以下递归关系；qn+2（t，z，z′）=：pn+2（t，r）=-e-nt/22π正弦（r）rpn（t，r）。（iii）（Gruet公式[3]），对于每n≥ 2，t>0，z，z′∈ Hn，它认为qn（t，z，z′）=pn（t，r）=e-（n）-1） t/8π（2π）n/2t1/2Γn+1Z∞e（π-b） /2tsinh（b）sin（πb/t）（cosh（b）+cosh（r））（n+1）/2db，其中r=dH（z，z′）。3带漂移的HBM及其参数我们考虑以下随机微分方程：dXt=YtdWt+u（Xt，Yt）dtdYt=YtdWt，（X，Y）=（X，Y）=z，（4）其中（X，Y）=z∈ H、 u：H→ R是一个Lipschitz函数，以x和|u（x，y）|为界≤ K | y |，（x，y）∈ H（5）具有一些正常数K。存在（4）的唯一强溶液，并用（Xu，Yu）=：Zu表示，而n=2的二维HBM givenby（3）将用（X，Y）=：Z.Putθ（t，Z，Z′）：=u（X，Y）xlog q（t，（x，y），（x′，y′）=u（x，y）xq（t，（x，y），（x′，y′）q（t，（x，y），（x′，y′），t>0，z，z′∈ H、 对于t>0和每个n，让n（t）：={（u，u，···，un）∈ [0，t]n:u<···<un}。以下是本文的主要定理：定理2。（i） 我们有θ（t，z，z′）≤3K（6），因此每n≥ 2，t>0和（s，···，sn）-（1）∈ n-1（t），随机变量qni=1θ（si- si公司-1，Zsi-1，Zsi），其中s=0，sn=t，在L中∞（P） andE[nYi=1θ（si- si公司-1，Zsi-1，Zsi）| Zt=z′]∈ L∞(n-1（t）），对于每个t>0和z，z′∈ H、 （ii）Seth（t，z，z′）=u（x，y）xq（t，z，z′）（y′）-2.（7）andhn（t，z，z′）：=zn-1（t）E[nYi=1θ（si-si公司-1，Zsi-1，Zsi）| Zt=z′]q（t，z，z′）ds···dsn-1对于n≥ 2.

然后，序列pn=1hn（t，z，z′）是绝对收敛的asN→ ∞ 在每个紧集上（t，z，z′）一致。（iii）Zu的跃迁密度由q（t，Z，Z′）（y′）+ZHZtq（t）给出- s、 z，z′（y′）Φ（s，z′，z′）dsdz′，其中Φ（t，z，z′）=P∞n=1hn（t，z，z′）。证据由于qn（t，z，z′）=pn（t，r（z，z′），我们得到xq（t，（x，y），（x′，y′）=xp（t，r（（x，y），（x′，y′））=rx个pr（t，r（（x，y），（x′，y′））=x- x′yy′sinh（r）-et2πsinh（r）p（t，r（（x，y），（x′，y′））=x个- x′yy′年-et（2π）p（t，r（（x，y），（x′，y′））根据定理1的（ii）。定理1的（iii）告诉我们et（2π）p（t，r）=e-t/8π（2π）t1/2ΓZ∞e（π-b） /2tsinh（b）sin（πb/t）（cosh（b）+cosh（r））5/2db=e-t/8π（2π）t1/2ΓZ∞e（π-b） /2tsinh（b）sin（πb/t）（cosh（b）+cosh（r））（cosh（b）+cosh（r））3/2db≤自cosh（x）起1+cosh（r）p（t，r）≥ 1表示所有x。因此，我们看到θ（t，（x，y），（x′，y′）≤ |u（x，y）||xq（t，（x，y），（x′，y′）| q（t，（x，y），（x′，y′）≤3K | y | | x- x′| yy′（1+cosh（r（z，z′））。这里，我们在上一个不等式中使用了（5）。By（1），| y | x- x′| yy′（1+cosh（r（z，z′））=| y | x- x′| yy′（1+| x-x′|+y+（y′）2yy′）=2 | y | x- x′| | x- x′|+| y+y′方向|≤|y | | y+y′|≤ 1、由此得到（6）。在最后一行中，我们使用了以下初等不等式：| x- x′|+| y+y′方向|≥ 2 | x- x′| | y+y′|。让我们考虑一下（ii）。由（6）可知，对于大于2的n，hn（t，z，z′）≤q（t，z，z′）（y′）zn-1（t）E[Kn | Zt=z′]ds···dsn-1个=Knq（t，z，z′）（y′）zn-1（t）ds···dsn-1个=Knq（t，z，z′）（y′）tn-1（n- 1） ！。（8） 这是我们使用的1 | Zt=z′=q（t，z，z′）（y′）。因此我们有∞Xn=1 | hn（t，z，z′）|≤q（t，z，z′）（y′）∞Xn=1Kntn公司-1（n- 1） 哦=Kq（t，z，z′）（y′）∞Xn=0千吨级nn=Kq（t，z，z′）（y′）eKt，完成了（ii）的证明。最后，我们将证明（iii）。

Sincehn（t，z，z′）=ZHZth（t- s、 z，z′）hn-1（s，z′，z′）dsdz′，我们看到集水坑∞n=1hn（t，z，z′）=：Φ（t，z，z′）满足Φ（t，z，z′）=h（t，z，z′）+ZHZth（t- s、 z，z′）Φ（s，z′，z′）dsdz′。（9） 注意，因为我们有，by（3），|Φ（t，z，z′）|=|∞Xn=1hn（t，z，z′）|≤∞Xn=1 | hn（t，z，z′）|≤Kq（t，z，z′）（y′）eKt，我们看到Φ是可积的：ZTZH |Φ（t，z，z′）| dz′dt≤KZTZHq（t，z，z′）（y′）eKtdz′dt≤KeKTZTZHq（t，z，z′）（y′）dz′dt=KT eKT<∞.我们知道这一点- t型q（t，z，z′）=0，和- t型ZHZtq（t- s、 z，z′）（y′）Φ（s，z′，z′）dsdz′）=-Φ（t，z，z′）由Feynman-Kac公式得出（参见例[5，定理7.6]）。因此，我们有+ ux个- t型p（t，z，z′）=+ ux个- t型q（t- s、 z，z′（y′）+ZHZtq（t- s、 z，z′）（y′）Φ（s，z′，z′）dsdz′= uqx（y′2）+ZHZtu（y′）qx（t- s、 z，z′）Φ（s，z′，z′）dsdz′- Φ（t，z，z′），通过（7）和（9）可以看到为零。显然，p（t，z，z′）dz收敛于δz′（dz）的性质是从q.4精确模拟解释继承来的。本着Bally Kohatsu【1】的精神，我们对定理2给出以下“精确模拟解释”。定理3。设Si，i=1···，是平均值为1的指数分布随机变量的独立副本，它也独立于布朗运动（W，W）。设Ti：=S+···+Si和Nt：=Pi{Ti≤t} ，t>0。然后，对于任何有界可测f，我们得到e[f（Zut）]=etE[NtYi=1θ（Ti- Ti公司-1，ZTi-1，ZTi）f（Zt）]。尽管这几乎是定理2和BallyKohatsu的一般理论的直接推论，但我们在下面给出了一个自包含的证明。证据

首先，我们认为对于一个正的可测函数≡ G（s，···sk+1，z，···，zk+1），我们有{Nt=k}G（T，···，Tk+1，ZT，···，ZTk，ZT）= EZk（t）×[t，∞)G（s，···，sk+1，Zs，···，Zsk，Zt）ds···dske-sk+1dsk+1.（10） 事实上，从那时起{Nt=k}G（T，···，Tk+1，ZT，···，ZTk，ZT）= EE{T≤t、 ···，Tk≤t、 Tk+1>t}G（t，···Tk+1，ZT，···，ZTk，ZT）| FZ= EZ[0，t]k×（t，∞)G（s，···，sk+1，Zs，···，Zsk，Zt）P（T∈ ds，···，Tk+1∈ dsk+1）,由于T的节理密度，Tkis由p（T）给出∈ ds，···，Tk+1∈ dsk+1）=1{sk+1>sk>sk-1> ···>s>0}e-sk+1ds···dsk+1，我们有（10）。特别地，如果G独立于sk+1，我们有以下约化：E{Nt=k}G（T，···Tk，ZT，···，ZTk，ZT）= e-tE公司Zk（t）G（s，···sk，Zs，···，Zsk，Zt）ds···dsk.（11） 我们注意到，我们可以应用（11）toG+（s，····sk，z，···，zk+1）=kYi=1θ（si- si公司-1，zi-1，zi）f（zk+1）！+，G-（s，····sk，z，···，zk+1）=kYi=1θ（si- si公司-1，zi-1，zi）f（zk+1）！-,所以我们有“kYi=1{Nt=k}θ（Ti- Ti公司-1，ZTi-1，ZTi）f（Zt）#=e-tE“Zk（t）kYi=1θ（si- si公司-1，Zsi-1，Zsi）f（Zt）ds···dsk#。（12） 因为我们从定理2的（i）中知道qki=1θ（si- si公司-1，Zsi-1，Zsi）∈L∞（P） ，我们看到qki=1θ（si- si公司-1，Zsi-1，Zsi）f（Zt）根据f（Zt）的要求在L（P）中∈ L（P）。因此，（12）等趾的右侧-tZ公司k（t）E“kYi=1θ（si- si公司-1，Zsi-1，Zsi）f（Zt）#ds···d sk。注意e“kYi=1θ（si- si公司-1，Zsi-1，Zsi）f（Zt）#=Z（H）k+1kYi=1h（si- si公司-1，zi-1，zi）f（z′）q（t- sk，zk，z′（y′）dz···dzkdz′，我们得到k（t）E“kYi=1θ（si- si公司-1，Zsi-1，Zsi）f（Zt）#ds···dsk=ZHZ（H×[0，t]）kkYi=1h（si- si公司-1，zi-1，zi）q（t- sk，zk，z′（y′）dsidzi！f（z′）dz′=ZHZH×[0，t]hk（sk，z′，z′）q（t- sk，z，z′（y′）dskdz′f（z′）dz′（13），其边界为Kktk公司-1（k- 1） 哦！ZHq（t，z，z′）（y′）| f（z′）| dz′=Kktk公司-1（k- 1） 哦！E[| f（Zt）|]，如（8）所示。

因此，我们可以改变求和与期望值inE“NtYi=1θ（Ti）之间的顺序- Ti公司-1，ZTi-1，ZTi）f（Zt）#=E“f（Zt）1{Nt=0}+∞Xk=1kYi=1{Nt=k}θ（Ti- Ti公司-1，ZTi-1，ZTi）f（Zt）#。另一方面，通过（13），Ef（Zt）1{Nt=0}+∞Xk=1E“kYi=1{Nt=k}θ（Ti- Ti公司-1，ZTi-1，ZTi）f（Zt）#=e-tZHq（t，z，z′）（y′）f（z′）dz′+e-t型∞Xk=1ZHf（z′）dz′ZHZtq（t- s、 z，z′）（y′）hk（s，z′，z′）dsdz′）=e-tZHq（t，z，z′）（y′）f（z′）dz′+e-tZHf（z′）dz′ZHZtq（t- s、 z，z′）（y′）Φ（s，z′，z′）dsdz′）=e-tE[f（Zut）]，其中la st等式根据定理2的（iii）有效。参考文献[1]Bally，K.和Kohatsu Higa，A.（2015），“阿美特里克斯方法的概率解释”，Ann。应用程序。概率。，第25卷，编号63095-3138。[2] Davies，E.B.（1989）《热核与光谱理论》，剑桥大学出版社。[3] Gruet，J.-C.（1996）“运动布朗双曲线的半群”，随机随机代表，56，53-61。[4] Henry Labord\'ere，P.（2005）“随机波动率模型的一般渐近隐含波动率”，arXiv：cond mat/0504317[5]Karatzas，I和Shreve，S.E.（1991）布朗运动和随机微积分，第二版，Springer Verlag[6]Matsumoto，H和Yor，M.（2005）“布朗运动的指数泛函，II：一些相关的扩散过程”，Probab。调查第2卷，348-384。