【小概率·大名堂】6.概率“私生子”——贝叶斯

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上期的插播，并没有留题，所以本期的解题环节先对上上期的赌徒模型做个简单分析。
       有童鞋在回复中说楼主都把题目出成赌徒破产模型，那当然是破产啦~~~（原谅楼主一生犯二不羁爱自由吧……）
       其实大致是这么回事： 若用A表示该赌徒第一局赢，用Bk表示他有本金k元时最后输光，并记概率P(Bk)=P(k) ，则由题意知P(A)=0.5 ，p(0)=1，p(m+n)=0， 且由全概率公式知

       其中，第一局赢的情况下，他有本金k元时最后输光的概率与他有本金k+1元时最后输光的概率相同，即

       将全概率公式化为
       经整理可得：
       最终可化为：
       如果该赌徒拥有的本金m有限，则贪心n越大，他输光的概率就越大。进一步，由于
故如果一直赌下去（n趋于无穷），他必输光无疑。（更详细的步骤可见http://blog.163.com/shuxue_zuoye/blog/static/1059931042010860162261/）


       其实从条件概率到全概率公式，我想接下来估计很多童鞋都猜想就该是贝叶斯了吧。BINGO，本期讲的就是贝叶斯概率。（其实用“私生子”来形容它，确实不雅，但之前贝叶斯理论提出之时确实受到很多争议，而到如今才开始慢慢得到正视与重视，所以这地位，很符合电视剧剧情啊~~原谅楼主言情剧看多了）说到贝叶斯，最主要的就是那个先验概率的提出啦。


首先来说说什么是贝叶斯概率？
       楼主百度了一下，貌似是这样描述的：贝叶斯概率是由贝叶斯理论所提供的一种对概率的解释，它采用将概率定义为某人对一个命题信任的程度的概念。贝叶斯理论同时也建议贝叶斯可以用作根据新的信息导出或者更新现有的置信度的规则。 通俗的说，是指概率统计中的应用所观察到的现象对有关概率分布的主观判断（即先验概率）进行修正的标准方法。当分析样本大到接近总体数时，样本中事件发生的概率将接近于总体中事件发生的概率。   


接下来我们来看看什么是先验概率和后验概率：
       先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现。后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，是“执果寻因”问题中的“因” 。后验概率是基于新的信息，修正原来的先验概率后所获得的更接近实际情况的概率估计。先验概率和后验概率是相对的。如果以后还有新的信息引入，更新了现在所谓的后验概率，得到了新的概率值，那么这个新的概率值被称为后验概率。


那第三个我们关注的点就是：频率主义与贝叶斯主义对于在应用中概率如何被赋值有着什么不同的看法？
       频率主义者根据随机事件发生的频率，或者总体样本里面的个数来赋值概率；贝叶斯主义者要根据未知的命题来赋值概率。


贝叶斯公式为：P(A∩B)=P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B)
                          P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)
其中：
1、P(A)是A的先验概率或边缘概率，称作"先验"是因为它不考虑B因素。
2、P(A|B)是已知B发生后A的条件概率，也称作A的后验概率。
3、P(B|A)是已知A发生后B的条件概率，也称作B的后验概率，这里称作似然度。
4、P(B)是B的先验概率或边缘概率，这里称作标准化常量。
5、P(B|A)/P(B)称作标准似然度。


       举个例子来说，一座别墅在过去的20年里一共发生过2次被盗，别墅的主人有一条狗，狗平均每周晚上叫3次，在盗贼入侵时狗叫的概率被估计为0.9，问题是：在狗叫的时候发生入侵的概率是多少？
       我们假设A事件为狗在晚上叫，B为盗贼入侵，则P(A)=3/7，P(B)=2/(20·365)=2/7300，P(A|B)=0.9，按照公式很容易得出结果：P(B|A)=0.9*(2/7300)/(3/7)=0.00058


       贝叶斯公式看起来很简单，但是在自然科学领域应用范围及其广泛。同时理论本身蕴含了深刻的思想。它常常被用来从先验知识进行推断的过程。
       再举个例子来说明： 假设有一台癌症诊断仪，通过对它以往的诊断记录的分析，如果患者确实患有癌症它的确诊率为90%，若果患者没有癌症，被诊断成癌症的概率为10%。问题： 如果一个人被这台诊断仪确诊成癌症， 这个人患有癌症的概率是多少？
根据贝叶斯公式 设 A: 癌症诊断仪给出癌症诊断。B1: 病人是癌症患者。B2 病人不是癌症患者。
P(A|B1) = 90%; P(A) = 90%*P(B1) + 10%*P(B2);
则P(B1|A) = P(B1)*90% / (90%*P(B1) + 10%*P(B2));
我们知道人群中癌症患者的比重是很小了，假设为1%， 则 P(B1) = 1%；P(B2) = 99%；
可以算出： P(B1|A) = 8%!
看出什么问题了吗？如果医生仅仅根据癌症诊断仪给出的确诊信息就认为病人有很大可能性患有癌症(医生经常这么做)，那就太不付责任了！因为即使这样，这个病人得癌症的概率还是只有8%!
对公式P(B1|A) = P(B1)*90% / (90%*P(B1) + 10%*P(B2))做一下简单的变形 ：可以得到
P(B1|A) =1 / (1 + (10%*P(B2))/(P(B1)*90%)).在结果中只有一个 变量 P(B2)/(P(B1)，这个比率也叫做基础比率。  基础比率越大，P(B1|A)的值越小。在本例中P(B2))/(P(B1) = 99：1。


在推理中基础比率起到的至关重要的作用。
可是大部分人在生活中做判断的时候却忽略了它,从而对于必然的小概率事件的发生深信不疑。


       这次楼主应用了例子来说明贝叶斯概率，一方面确实要自己编写例子，这有点难为楼主了，另一方面贝叶斯统计从现在统计学的发展角度来看，越来越被受到关注，研究贝叶斯相关的课题也越来越多。但学校的教学中，仿佛只是蜻蜓点水般略作了讲解，主要精力还是放在传统的统计学理论上（这不是说传统的不好，传统其实是基础来的），所以我也只能做个抛砖引玉，让大家能够就着这次的帖子能够多关注一些这方面的话题。这次就木有答题环节了，但依然有回帖奖励。希望大家能多多交流大家的所思所想，共同进步！

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不错，感谢lz分享，辛苦楼主了

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名字起得挺刁，进来学习了。