凹向原点的无差异曲线，因无聊，发个帖逗逗中级数学家

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无差异曲线是否有凹向原点的情形呢？有的。
但它是数学家所理解的，无差异曲线越高效用越大吗？不是。
中级微观经济学里，不少这种坑爹的事情。
闲话少说，看图。

其实，凹向原点的无差异曲线，不过是以原点为餍足点的无差异圈的一象限部分。因为二三四象限的无差异线无意义，而一象限的凹向原点的无差异曲线部分有意义，代表了“厌恶品”，即这种商品的消费会带来负的总效用（注意，一开始就是总效用是负的，消费越多效用越是负值绝对值越大），所以，在第一个边际上，两种商品都是负效用。
理解了这一点，你还学着中级数学家说：凹向原点的无差异曲线越高，（正的）总效用越大？没有搞错吧？
所以，在自愿交换这个前提下，假模假式地算什么消费者均衡点，就是闲扯篇，经济学的不是，连数学都不对。
我这人就这样，管你什么希克斯还是思路司机，你说的不对，俺就要指出来。哈哈

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关键词：无差异曲线 数学家 中级微观经济学 级微观经济学 微观经济学

纳税和自带干粮服兵役，就是两种“厌恶品”，如果不被强制，两件事都不做的效用最大，等于零。如果被强制，那就是求负效用最小化点，也就是在约束条件（强制）下，寻找接近原点的均衡点。这也没有什么角点解的事儿，角点解是不理性的。而人果真是不理性的，那才真是一怕不苦，二怕不死了。

如果抛开经济理性人假设，什么奇葩的事情都会发生。比如消费负效用商品等事情，还好，经济理性人假设保持了底线。

nuomin 发表于 2019-4-25 21:01
如果抛开经济理性人假设，什么奇葩的事情都会发生。比如消费负效用商品等事情，还好，经济理性人假设保持了 ...

是的，不遵从经济理性，可以一时得意，而长远不可持续。

正本清源。
无差异曲线指的是什么？
在该曲线上的任意两点所表示的不同消费品数量的组合，有着相同水平的总效用。凸向原点的无差异曲线，越高效用越大，反之反是。
为什么要让大家记住这个，是因为在分析问题时，有人就常常把这个含义给忘记了。
正因为定义如此，所以才有，当无差异曲线向原点凸时，切点解是最优的。
这又不得不让大家回忆预算线的定义。
当各商品价格一定、消费者收入一定时，花光收入所能得到的不同商品购买量的组合点轨迹，它是一条负斜率直线。
在预算线上，任意两点的支出额是相等的。越高的预算线，支出额越高；反之反是。
所以才有下图

当预算线一定时，也就是支出一定时，其所能给消费者带来最大可行总效用的“购买—消费组合”就是预算线与凸向原点的无差异曲线族中的一条且只有一条线的切点组合。
而无差异曲线凸向原点，从代数角度，又可称为“边际替代率递减”。其原因在于边际效用递减律。

以上分析建立在无差异曲线凸向原点的基础上。这个基础是说，刚开始消费某种商品时，边际效用是正的，所以，更为根本的是：凸向原点的无差异曲线，反映的是两种产品都是人们愿意消费的产品（“喜好品”），而不是“厌恶品”（第一个消费单位的效用就是负值的产品，或曰第一个边际效用就是负值的产品）。
并且，一个隐含的重要前提是：消费者将自愿购买或不购买。

那么，无差异曲线有可能是凹向原点吗？主贴已经回答：有可能。但并未澄清凹向原点的无差异曲线的边际效用值的正负性。下面予以澄清。
喜好品的完整的无差异曲线，由下图给出。

喜好品的完整的无差异曲线，其实是一条外凸的线圈；不同效用水平的无差异线圈构成一个“族”。
这个“族”中的每一个线圈，表示一个相同的总效用水平（图中两个红点的效用相等），线圈中的蓝色点，反映了消费者的“餍足点组合”。
黄线，是所有无差异线圈为凸向原点无差异曲线和凹向原点原点无差异曲线的分割线。
那么，分割线左下部分的无差异曲线求最优的原则就是预算线与无差异曲线的切。
而分割线右上部分呢？
从消费者自愿购买的前提出发，消费者可以在左下红点以更少的支出获得效用，就不会在右上红点以更大的支出去获得相同的效用。所以，分割线右上的无差异线圈的部分，是非可行解。
如图

那么，虽然分割线右上部分是非可行解部分，我们还是可以探讨一下它的性质，比如，这个部分的曲线，是越高效用越高呢，还是越低效用越高呢？
如图

图中，两个红点效用相同，两个黄点效用相同。
在分割线左下，红点效用低于黄点效用（凸向原点的无差异曲线越高效用越高，反之反是）
那么分割线右上，情况如何？
中级数学家在这里翻船了。他们说，还是线越高效用越高。原来他们虽然是数学专业出身，但数学真得很差。
明显地，在分割线右上范围，无差异曲线越高，总效用越低。
凹向原点的无差异曲线，越高，总效用越低。越高，总效用越低。越高，总效用越低。重要的事情要说三遍。
右上部分，高效用的黄点比低效用的红点，更靠左下，图形就是这样的。数学家犯低级错误，是不可饶恕的。
至于右上部分的边际效用情况，下次再说。

先上个图

消费一种商品时，消费到边际效用等于零时，总效用最大。
消费两种商品呢？
当然是都消费到边际效用等于零时，总的总效用最大了。
这就是餍足点。