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Lecture Notes on Optimization for

Microeconomic Analysis1

冯 曲

复旦大学经济学院

中国经济研究中心

第一稿 2003 年1 月

一切匠心都归功于Dixit, Chiang, Takayama 等杰出的前辈；所有的错误、遗漏为编者所有。

他是个顽皮的孩子，不肯就安分的待在身旁；我们要做的是，不能让他的玩耍脱离我

们的视线。

1 欢迎指出错误及评论。qufeng@fudan.edu.cn

目 录

A.最优规划问题…………………………………………………..………..3

B.梯度向量…………………………………………………………………3

B.1.无约束极值问题…………………………………………………..3

B.1.1 向量的内积…………………………………………………4

B.2.约束极值问题……………………………………………………..6

B.2.1 雅克比矩阵…………………………………………………8

B.2.2 隐函数定理…………………………………………………8

B.2.3 超平面………………………………………………………9

C.等式约束极值的拉格朗日求解法……………………………………..10

D.非线性规划问题的求解：库恩－塔克条件…………………………..11

E.二阶条件………………………………………………………………..14

E.1 无约束极值问题…………………………………………………14

E.1.1 泰勒展开…………………………………………………..14

E.1.2 二次型…………………………………………………….16

E.2 等式约束极值问题……………………………………………….17

E.3 不等式约束问题………………………………………………….21

F.凹规划……………………………………………………………………22

F.1.1 凸集…………………………………………………………22

F.1.2 凸函数………………………………………………………22

F.1.3.凹函数………………………………………………………23

F.2.凹规划……………………………………………………………..24

F.3.拟凹函数、拟凸函数……………………………………………..25

G.最优化问题的解…………………………………………………………28

G.1.基本概念…………………………………………………………..28

G.1.1 紧集…………………………………………………………28

G.1.2.函数的连续…………………………………………………28

G.1.3 韦氏定理……………………………………………………28

G.2.解的存在性和唯一性……………………………………………..29

G.2.1.存在性定理…………………………………………………29

G.2.2 唯一性定理…………………………………………………30

G.3 分离……………………………………………………………….31

H.比较静态分析……………………………………………………………33

H.1.基本思想 …………………………………………………………33

H.2.一般方法……………………………………...……………………34

I. 包络定理…………………………………………….…………………….36

I.1.最大值函数…………………………………………………………36

I.2.包络定理……………………………………………………………37

I.3.拉格朗日乘子的含义………………………………………………39

I.4.包络定理的应用……………………………………………………40

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