ARMA-GARCH

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请问一下在ARMA-GARCH模型，是不是就是先建立一个ARMA模型，发现这个ARMA模型的方差有ARCH效应，于是建立GARCH模型消除异方差（GARCH模型均值方程就是上述的ARMA模型）？

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关键词：GARCH ARMA ARCH ARC RMA

      楼主您好，这个理解基本上是正确的。但是要注意，并不是ARMA模型的方差有ARCH效应，而是ARMA模型建立之后的残差(Residuals)有ARCH效应。在时间序列里，一个线性的时间序列过程被定义为: r_t = μ + a_t，这个r_t一般是指你的对数收益率序列(log return)，即原始数据序列(比如股价或者某指数)的对数化后一阶差分的序列，在金融经济里，建立时间序列模型一般都是用的对数一阶差分后的序列(log return)，重点研究的是收益率。这个μ就是序列r_t的均值mean，我们对log return r_t建立的ARMA模型就是μ term，所以ARMA模型也叫conditional mean model (条件均值模型)，a_t是residual (即残差)，建立完ARMA模型后你提取的残差序列就是a_t，你需要先对残差序列进行白噪声检验，用Ljung-box检验，若残差满足白噪声假设那么说明这个ARMA模型建模充分，若是通不过则要再修改ARMA阶数重新建模，因为ARMA模型要求a_t为iid (独立同分布)。要建立GARCH模型之前我们要对残差序列进行ARCH效应的检验，即检查一下残差平方序列a_t^2 (squared return mean deviation)和其自身的滞后项是不是有线性关系，软件或程序包算ARCH效应时会自动给a_t平方的，可以使用Arch-lm test，或者McLeod-Li test (即残差平方的Ljung-box test)，确定有ARCH效应这说明残差平方序列具备条件异方差的特性，满足GARCH的建模条件，GARCH并不假设残差平方序列为iid (独立同分布)的，GARCH模型建立完之后，你会得到σ_t^2，即GARCH模型所估计出来的条件方差序列(也就是想研究的条件波动率)，根据η_t = a_t/sqrt(σ_t^2)的公式计算，我们会得到这个GARCH模型的η_t标准化残差序列(standardized residual)，这时候再对这个标准化残差η_t 再做一次ARCH效应检验，看看是不是还具有ARCH效应，若是显示没有了，那就说明这个GARCH模型建模是适当的，残差平方的ARCH效应被充分建模，已经消除了，若还是有ARCH效应，那就是GARCH模型建模还不够充分，即使GARCH参数都显著，严格上来说还需要调整GARCH的阶数或者换用别的GARCH族类模型再次建模，以确保残差平方的异方差特性被充分消除，当然GARCH建模后还对标准化残差进行ARCH检验这一步在大多数论文里并未经常出现，所以如果不需要特别严谨也可以省略这一步检验了，这就是最完整的ARMA-GARCH的建模流程。

      按照以上流程建立的ARMA-GARCH模型，ARMA模型就是GARCH模型的均值方程，而且是一个条件均值方程 (conditional mean equation)，之所以强调这一点是因为，有些论文里的研究是只关注序列的波动率，并不想研究序列的条件均值特性，所以就直接对这个mean term用一个常数项 (constant term)就代替了，即ARMA模型只有一个截距项的情况，这时候这个截距项的估计值是log return的平均值，这种情况的GARCH模型便是没有ARMA为均值方程的，只有一个constant term对log return进行filtering，那这种情况一般就直接叫做GARCH模型，不会去提到ARMA了，因为不关心均值，有些论文甚至直接对log return就进行GARCH参数估计，因为直接假设这个constant term为0，这个大部分时候也是合理的，因为经常发现这个constant term估计值的p值不显著 (达不到双侧10%)，所以视为0，在采用这两种constant term均值的情况下，GARCH建模的流程还是一样的不改变。

       ARMA-GARCH模型有两种参数估计的方式，你可以先针对log return参数估计ARMA模型，之后提取残差再参数估计GARCH模型，这是两步估计法 (two-step procedure)，也可以针对log return，直接一起参数估计ARMA模型和GARCH模型，这是一步估计法 (one-step procedure)，严格来说第二种方式是最准确的，第一种方式的估计值也是一致渐进的没有问题，两者计算出来的结果非常接近基本一样，在软件或者程序里可以自己选择要哪个估计方式，不论是一步法还是两步法的参数估计都可以叫做ARMA-GARCH，不用把名字分开写的，写文章时注意写明估计方式就好。希望有帮助。

719812133 发表于 2021-2-1 01:55
楼主您好，这个理解基本上是正确的。但是要注意，并不是ARMA模型的方差有ARCH效应，而是ARMA模型建立 ...

请问如何得到原始序列的预测结果呢？是应该使用均值方程预测结果加上方差预测结果开根号再乘以一个服从(0,1)正态分布的随机变量的一个样本吗，可是这样感觉随机性太大了，还是直接把均值模型的预测结果作为预测结果，如果这样的话并没有利用上GARCH模型

wj__ 发表于 2022-10-15 16:26
请问如何得到原始序列的预测结果呢？是应该使用均值方程预测结果加上方差预测结果开根号再乘以一个服从(0 ...

你问的这个其实就是求interval forecasing，只不过你要的是原始序列的结果，具体做法是在预测的均值序列 (μ_t)的基础上加减预测的标准差序列 (σ_t)乘以特定的quantile(5%、25%、75%、95%)，然后再算回log return之前的量纲，所以如果你算4个quantile，会得到一个预测的均值加减上四个bands，它不会是一个单独的预测序列。原始序列的预测结果本来就带着不确定性，至少从这个预测框架出发，我们无法量化这个quantile的情况，这也是时间序列本身预测时局限的地方。

时间序列分析预测时，一般有两个分析视角，一个是point forcasting，也即点预测，一个是在point forecasting的基础上考虑预测量分布的不确定性，进行interval forecasting，也即区间预测，第二个概念是在第一个概念基础上的延申，不能混淆在一起。
一个ARMA-GARCH建模完进行预测分析时，根据你的预测步数是1步还是多步向前预测 (是固定窗口预测还是滚动窗口预测，要看你的使用情况)，你可以得到一条预测的均值序列 (μ_t)，和一条预测的波动率序列 (σ_t^2，或者说一条预测的标准差序列σ_t，本质是一个东西，都是离差)。

接下来分三个情况讨论，第一种情况是单独分析均值的point forecasting，那么你就只拿着这个预测的均值序列 (μ_t)去和真实的值计算MSE (或者其他衡量预测准确度的统计指标，反正都是在衡量预测的偏离程度，本质是一样的)，这个时候虽然是没有直接用到GARCH预测的波动率，但要记得这是一个ARMA-GARCH模型，在建模时是同时假设了动态条件均值和动态条件方差 (也即异方差)的属性的，那么你这个建模估计出来的均值和后续预测出来的均值都是有异方差GARCH建模考虑的，它已经和单纯的同方差单一的一个ARMA模型不一样了，一般来说ARMA-GARCH的均值建模是会更合理更准确一些的，这种异方差建模影响已经融入进ARMA模型的估计均值和预测均值里去了，所以不能说没有利用上GARCH模型，只是在这个预测分析的情况下，你没有必要使用到GARCH预测的波动率序列 (σ_t^2)。第二种情况是单独分析波动率的point forecasting，那么你就只拿着这个预测的波动率序列 (σ_t^2)去和残差平方计算MSE。和前面第一个情况同理，这个时候虽然也用不到预测的均值序列 (μ_t)，但是你这个预测的波动率序列是建立在动态条件均值的建模上的，也已经受其影响了。第三种情况是从interval forecasing进行分析，构建区间，同时结合预测的均值序列 (μ_t)和预测的波动率序列 (σ_t^2)。

719812133 发表于 2022-10-15 18:14
你问的这个其实就是求interval forecasing，只不过你要的是原始序列的结果，具体做法是在预测的均值序列  ...

非常感谢您的解答，您说的ARMA-GARCH的异方差建模影响已经融入进ARMA模型的估计均值和预测均值里去了是在联合估计的情况下吧，如果分两步估计的话，第一步ARMA模型的均值方程里没有GARCH 估计的方差，这种情况就不能直接用均值序列了吧

wj__ 发表于 2022-10-17 09:49
非常感谢您的解答，您说的ARMA-GARCH的异方差建模影响已经融入进ARMA模型的估计均值和预测均值里去了是在 ...

是的，ARMA-GARCH不是联合估计的话一般不像上面那样在interval forecasting时结合均值和波动率，因为已经是来自两个不同的估计过程了，强行使用的话这种假设比较强，存在一定偏差，毕竟估计出来的均值是建立在同方差假设上的，但也不代表不能用，只是说有联合估计可以选的话，那一般都倾向于联合估计，毕竟ARMA-GARCH参数估计不存在维度灾难、也不存在估计复杂度大的客观制约，所以没有这些个困扰制约大家在估计理论的选择上退而求其次。

719812133 发表于 2022-10-17 14:01
是的，ARMA-GARCH不是联合估计的话一般不像上面那样在interval forecasting时结合均值和波动率，因为已经 ...

好的感谢