一类概率空间中的货币价值测度

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英文标题：
《Monetary value measures in a category of probability spaces》
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作者：
Takanori Adachi and Yoshihiro Ryu
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We generalize the notion of monetary value measures developed with category theory in [Adachi, 2014] by extending their base category from the category \\c{hi} to the category of probability spaces Prob introduced in [Adachi and Ryu, 2016].
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中文摘要：
我们通过将货币价值测度的基本范畴从范畴c{hi}扩展到概率空间Prob的范畴（Adachi和Ryu，2016），推广了[Adachi，2014]中用范畴理论发展的货币价值测度的概念。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Monetary_value_measures_in_a_category_of_probability_spaces.pdf (126.74 KB)

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关键词：货币价值 Mathematical Quantitative Probability mathematica

货币价值测量在可能性空间的一个类别中Stakanori ADACHI和YOSHIHIRO RYUIn本文通过将货币价值测量的基本类别从类别χ扩展到[ADACHI和Ryu，2016]中引入的类别Prob，推广了[ADACHI，2014]中提出的货币价值测量的概念。对于那些不熟悉金融风险管理和/或货币价值计量的人，请参考[Adachi，2014年]第2节。1、概率空间的范畴在这一节中，我们概述了概率空间范畴的理论。请参阅t o【Adachi和Ryu，2016年】，了解有关本节内容的完整讨论和证明。设'X：=（X，∑X，PX），'Y：=（Y，∑Y，PY）和'Z：=（Z，∑Z，PZ）为概率空间。定义1.1。[类别Prob]类别Prob是对象都是概率空间的类别，它们之间的ar行集由Prob（\'X，\'Y）定义：={f-| f:Y→？Xis是满足PY的可测量函数o f-1.<< PX}，其中f-是唯一对应于可测量函数f的符号。为了简单起见，我们将状态空间定义为可测量空间（R，B（R））。L∞（(R)X）是由R值随机变量sv组成的向量空间，因此PX-ess supx∈X | v（X）|<∞, 而L（(R)X）是由R值随机变量v组成的向量空间，因此Rx | v | dpxH是一个有限值。对于两个随机变量u和u，我们写u~PXuwhen PX（u6=u）=0，并写入u.PXuwhen PX（u>u）=0。请注意，u.PXU和u.PXui ffu~PXu。L∞（\'X）和L（\'X）是商空间L∞（(R)X）/~PX和L（(R)X）/~分别为PX。2000年数学学科分类。初级91B30、16B50；二级91B82、18B99。关键词和短语。条件期望，类别理论货币价值度量，这项工作得到了JSPS KAKENHI赠款编号26330026.2 T.ADACHI和Y.RYUDe定义1.2的支持。

[函子L]函子L：Pr ob→ 集合定义为：X'Xf-L//L'X：=左前-L∞（(R)X）[单位]~PXLf公司-YfOO年L//L Y：=L∞（(R)Y）[uo f]~Py定理1.3。让f-是Prob（\'X，\'Y）中的箭头。那么，对于anyv∈ L（(R)Y）存在u∈ L（(R)X）使得∈ ∑X（1.1）ZAu dPX=Zf-1（A）v dPY。此外，u是唯一确定的，直到PX为空。在其他w字中，如果有两个u，u∈ L（(R)X）均满足（1.1），然后u~PXu。我们用Ef写一个v e rs i-（v） ，并称之为v沿f的条件期望-. 因此，（1.2）ZAEf-（v） dPX=Zf-1（A）v dPY。提案1.4。让f-和g-探针中的be箭头如：(R)Xf-//\'\'Yg-// \'\'Z。（1） 对于u∈ L（(R)X），EId-X（u）~PXu。（2） 对于v，v∈ L（(R)Y），v~PYvimplies Ef-（五）~PXEf-（v） 。（3） 对于w∈ L（(R)Z），Ef-（例如-（w） （）~PXEg-of-（w） 。定义1.5。【函子E】函子E:ProBoop→ 集合定义：X'Xf-E//E'X：=L（'X）[Ef-（v） ]~PXYfOO年E//E'Y：=Ef-OOL（(R)Y）[五]~PY公司Ef公司-我们称E为条件期望函子。提案1.6。让f-:\'\'X→是一个箭头，u，v∈ L（(R)Y）和α，β∈ R（1） 直线度：Ef-（αu+βv）~PXαEf-（u） +βEf-（v） 。（2） 职位：Ef-（v） 如果v和PY0，则为PX0（&P）。定理1.7。让f-:\'\'X→\'Y是一个Pr ob箭头，u∈ L（Y）和W∈ L∞（(R)X）。那么我们有（1.3）Ef-（（wo f） ·u）~PXw·Ef-（u） 。货币价值衡量32。货币价值计量货币价值计量定义为对问题的预测。定义2.1。

[货币价值度量]货币价值度量是逆变函子Φ：Probop→ 设定byX'Xf-Φ//Φ？X：=L（？X）[^1f-（v） ]~PXYfOO年Φ//Φ′Y：=Φf-OOL（(R)Y）[五]~PY公司Φf-OOwhereДf-满意度（1）C灰分不变性：(v∈ L∞（(R)Y））(u∈ L∞（(R)X））Дf-（v+uo f）~PXИf-（v） +u，（2）单调性：（v∈ L∞（(R)Y））(v∈ L∞（Y）v.PYv=> ^1f-（v） 。PXИf-（v） ，（3）归一化：Дf-（0年）~PXXif f-是度量保持，（4）v∈ L∞（(R)Y）表示Дf-（五）∈ L∞（(R)X）如果f-是度量保持。我们有时为Φ写Φ[Д·]，明确指出由Φ映射的箭头由Д·确定。在这一点上，我们不需要货币价值指标来满足熟悉的条件，如凹度或正同质性。我们不想这样做，而是想看看从这个最小设置中推断出什么样的属性。定义2.1最关键的一点是，Д不仅在时间方向上移动，而且在内部也在几个绝对连续的概率度量上移动。这意味着我们有可能制定风险措施，包括该公式中的模糊性。定义2.1的另一个关键点是Д是逆变函子。所以，对于任何一对箭头“Xf”-//\'\'Yg-// 在Prob中，我们有（2.1）ΦId-X=IdL（(R)X）和Φf-o Φg-= Φ（g-o f-).作为货币价值测度的一个例子，我们将引入依赖于条件期望sef的熵价值测度的概念-（v） v沿f的-.在引入熵值测度之前，我们需要以下引理。引理2.2。让f-:\'\'X→是Prob中保留度量值的箭头。那么，v∈ L∞（(R)Y）表示Ef-（五）∈ L∞（(R)X）。4 T.ADACHI和Y.Ryuprof。自v起∈ L∞（(R)Y），存在非负M≥ 0，以便-MPYv。PYM公司。然后，根据命题1.6,0。PXEf-（M）- 五）~PXEf-（M）- Ef公司-（v） 。另一方面，我们有-（M）~PXMEf-（1年）~PXMsince f是度量保持。因此，我们获得Ef-（v） 。PXM。同样，我们有-MPXEf-（v） 。

所以我们得到了Ef-（五）∈ L∞（(R)X）。提案2.3。[熵值度量]设f-:\'\'X→Y为Prob箭头，λ为正实数。定义函数Дf-: L（(R)Y）→ L（(R)X）X（2.2）Дf-（v） ：=λ-1日志Ef-（eλv）(v∈ L（Y））。那么，Φ：=Φ[Д·]i是一个货币价值度量。我们称之为Φanentropic值度量。证据Let'Xf-//\'\'Yg-// “”Z为Prob中的箭头。为了显示tΦ成为逆变函子，我们需要检查三点：ДId-Z（w）~PZw，Дf-（^1g）-（w） （）~PXИg-of-（w） ，和that w~PZwimpliesДg-（w）~PYИg-（w） 对于每个w，w，w∈ L（(R)Z）。但是，它们直接导致了1.4号提案的战争后果。因此，我们转发以检查-满足定义2.1的条件。首先，我们证明了νf-（v+uo f）~PXИf-（v） +u表示v∈ L∞（(R)Y）和u∈ L∞（(R)X）。但根据定理1.7，我们有-（v+uo f） =λ-1日志Ef-（eλ（v+uof））=λ-1log Ef-eλv·（（eλu）o f）~PXλ-1日志eλu·Ef-（eλv）= u+Дf-（v） 。其次，我们证明了v.PYvimpliesДf-（v） 。PXИf-（v） 对于v，v∈ L∞（(R)Y）。但这来自1.6号提案。第三，我们证明了νf-（0年）~PXXif f-是度量保持。但这很简单，如下所示：-（0Y）=λ-1日志Ef-（eλ0Y）=λ-1日志Ef-（1年）~PXλ-1日志1X=0X。最后，我们需要证明v∈ L∞（(R)Y）表示Дf-（五）∈ L∞（(R)X）当f-是度量保持。但这来自引理2.2。以下是货币价值度量的一些属性。定理2.4。

设Φ=Φ[Д·]：Probop→ 设置为货币价值度量值，以及“Xf”-//\'\'Yg-// “”Z为Prob中的箭头。如果f，则货币价值度量为5（1）-是保测度的，我们有Φf-o Lf公司-= IdL'X.（2）幂等性：如果f-是保测度的，我们有Φf-o Lf公司-o Φf-= Φf-.（3） 当地财产：(v∈ L∞（(R)Y））(v∈ L∞（(R)Y））(A.∈ ∑X）Φf-f-1（A）v+1f-1（Ac）v~PY=[1f-1（A）]~PXΦf【v】~PY+[1f-1（Ac）]~PXΦf【v】~PY。（4） 动态规划原理：If g-保持度量值，νg-of-（w） =^1g-of-（^1g）-（w）o g） 对于w∈ L∞（(R)Z）。（5） 时间一致性：(w∈ L∞（(R)Z））(w∈ L∞（(R)Z））Дg-（w） 。PYИg-（w）=> ^1g-of-（w） 。PXИg-of-（w） 。证据（1） 对于u∈ L∞（(R)X），Φf-（左前-[单位]~PX）=^1f-（u）o f）~px但是，通过现金不变性和归一化，我们得到了νf-（u）of）=~nf-（0Y+（uo f） （）~PXИf-（0Y）+u~PXX+u=u.（2）立即乘以（1）。（3） 首先，我们展示了纽约a∈ ∑X和v∈ L∞（(R)Y），（2.3）1AДf-（五）~PXAИf-（1层-1（A）v）。自v起∈ L∞（(R)Y），对于每个Y∈ 我们有| v（Y）|。PYkvkL∞（(R)Y）。因此，f-1（A）v-1f层-1（交流）kvkL∞（(R)Y）。PYf公司-1（A）v+1f-1（Ac）v。PYf公司-1（A）v+1f-1（交流）kvkL∞（(R)Y）。然后注意到1Ao f=1f-1（A），我们通过现金不变性和mo恶名性得到以下方程序列。^1f-（1层-1（A）v）- kvkL∞（(R)Y）Ac~PXИf-（1层-1（A）v- （kvkL∞（(R)Y）Ac）o f） =Дf-（1层-1（A）v- 1f层-1（交流）kvkL∞（(R)Y））。PXИf-（v） 。PXИf-（1层-1（A）v+1f-1（交流）kvkL∞（(R)Y））=Дf-（1层-1（A）v+（kvkL∞（(R)Y）Ac）o f）~PXИf-（1层-1（A）v）+kvkL∞（(R)Y）Ac.THESEДf-（1层-1（A）v）-1 CKVKL∞（(R)Y）。PXИf-（v） 。PXИf-（1层-1（A）v）+1 CKVKL∞（(R)Y）。通过乘以1A，我们得到aхf-（1层-1（A）v）- .PXAИf-（v） 。PXAИf-（1层-1（A）v）。因此，我们得到（2.3）。6 T.ADACHI和Y。

通过使用（2.3）两次，我们得到了νf-（1层-1（A）v+1f-1（Ac）v）=1f-1（A）Дf-（1层-1（A）v+1f-1（交流）v）+1f-1（Ac）Дf-（1层-1（A）v+1f-1（交流）v）~PXf-1（A）Дf-（1层-1（A）（1f）-1（A）v+1f-1（交流）v））+1f-1（Ac）Дf-（1层-1（Ac）（1f-1（A）v+1f-1（Ac）v））=1f-1（A）Дf-（1层-1（A）v）+1f-1（Ac）Дf-（1层-1（交流）v）~PXf-1（A）Дf-（v） +1f-1（Ac）Дf-（v） 。（4） 根据（2），我们得到了νg-（^1g）-（w）o g）~PYИg-（w） 对于w∈ L∞（(R)Z）。So按（2.1）计算，Дg-of-（w）~PXИf-（^1g）-（w） （）~PXИf-（^1g）-（^1g）-（w）o g） ）=（Дf-o ^1g-)（^1g）-（w）o g）~PXИg-of-（^1g）-（w）o g） 。（5） 假设φg-（w） 。PYИg-（w） 。然后，通过单调性和（2.1），νg-of-（w）~PXИf-（^1g）-（w） ）。PXИf-（^1g）-（w） （）~PXИg-of-（w） 。在定理2.4中，通常将动态规划原理和时间一致性这两个性质作为公理引入（【Detlefsen和Scandolo，2006年】）。但是，我们从货币价值度量是一个逆变函子这一事实中自然地导出了它们。在结束本节之前，我们将在我们的设置中提到一个关于Yonedalemma的注释。定理2.5。[Yoneda引理]对于任何货币价值度量Φ：Probop→ 集合和一个n对象'X在Prob中，存在一个双射校正yΦ，'X，由以下图指定：yΦ，'X:Nat（Prob(-,(R)X），Φ）~=//L（(R)X）α//α′X（Id-十） u uOO其中▄u是由定义的任何f的自然转换-:是的→？X输入杆，？u？Y（f-) := Φf-u、 此外，Φ和'X之间的对应关系是自然的。考虑可表示函子Prob是有意义的(-,\'X）是一个具有时间轴\'X的广义时域。然后是从Pr o b的自然变换(-,“X）到Φ可以被视为（在某种意义上）适应Φ的随机过程，其对应的∑X-可测量随机变量表示地平线上的终值（payoffi）。货币价值测量7 Yoneda引理说，我们在这些随机过程和随机变量之间有一个双射对应。参考文献【Adachi，2014】Adachi，T.（2014）。走向分类风险度量理论。

《类别的理论与应用》，29（14）：389–405。【Adachi和Ryu，2016】Adachi，T.和Ryu，Y.（2016）。概率空间的一类。https://arxiv.org/abs/1611.03630.【Detlefsen和Scandolo，2006】Detlefsen，K.和Scandolo，G.（2006）。条件和动态凸风险度量。工作文件。立命馆大学数学科学系，11-1 Nojihigashi，Kusatsu，Shiga，525-8577日本邮箱：Takanori Adachi。adachi@gmail.com>电子邮件地址：Yoshihiro Ryu<iti2san@gmail.com>