严格局部鞅与哈斯明斯基爆炸试验

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英文标题：
《Strict Local Martingales and the Khasminskii test for Explosions》
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作者：
Philip Protter, Aditi Dandapani
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We exhibit sufficient conditions such that components of a multidimensional SDE giving rise to a local martingale $M$ are strict local martingales or martingales. We assume that the equations have diffusion coefficients of the form $\\sigma(M_t,v_t),$ with $v_t$ being a stochastic volatility term.
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中文摘要：
我们给出了一个充分条件，使得产生局部鞅$M$的多维SDE的分量是严格的局部鞅或鞅。我们假设方程的扩散系数形式为$\\σ（M\\u t，v\\t），$，其中$\\ v\\u t$是一个随机波动项。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Strict_Local_Martingales_and_the_Khasminskii_test_for_Explosions.pdf (184.56 KB)

2022-6-14 06:24:39 上传

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关键词：明斯基 Mathematical coefficients Quantitative martingales

严格局部鞅与爆炸的Khasminskii检验Saditi-Dandapani*+和Philip Protter，2019年3月7日摘要我们展示了充分的条件，使得产生局部鞅M的多维SDE的分量是严格的局部鞅或鞅。我们假设方程具有形式σ（Mt，vt）的扩散系数，其中vt是一个随机波动项。为了纪念Larry Shepp1在2007年的介绍，P.L.Lions和M.Musiela（2007）给出了一维随机波动率随机微分方程的唯一弱解为严格局部鞅的充分条件。Lions和Musiela也给出了它是鞅的充分条件。L获得了类似的结果。Andersenand V.Piterbarg（2007年）。这些技术依赖于Feller的爆炸测试的一个关键阶段，因此特别适用于一维情况。早在2002年，F.Delbaen和H.Shirakawa（2002）给出了一个开创性的结果，给出了一维随机微分方程（无随机波动性）的解是严格局部鞅或非鞅的必要和充分条件。后来，A.Mijatovic和M.Urusov（2012）对此进行了扩展，然后*哥伦比亚大学应用数学系，纽约州纽约市，邮编：10027；电子邮件：ad2259@caa.columbia.edu; 目前就职于法国帕莱索理工学院+部分由NSF gr ant DMS-1308483统计部提供支持，哥伦比亚大学，纽约，纽约10027；电子邮件：pep2117@columbia.edu.§部分由NSF gr ant DMS-1612758Cui等人（201 7）支持，以解决存在唯一、弱解决方案的情况，即存在良好的SSTOC波动性。我们的想法是按照Khasminskii（1980）、Narita（1982）和Stroock Varadhan（2006）的思路使用Lyapunov函数理论。

这是基于J.Ruf（2015）之前的开创性工作。我们最近意识到了优秀的pa per o fD。Criens（2018），其使用的技术与本文中使用的技术相似。Criens更感兴趣的是存在套利的条件，而我们更感兴趣的是鞅的性质，而不是随机微分方程系统中的严格局部鞅。我们根据方程的系数给出了一个准则，即哪些分量是鞅，哪些分量是严格的局部鞅。我们的标准是确定性的。此外，我们还考虑了波动率惊人的情况。本文给出了多维随机微分方程局部鞅解的分量是否为真鞅的条件。为了整合随机波动率的概念，我们允许所讨论的局部鞅的扩散系数是多维局部鞅本身以及另一个随机过程，即随机波动率的函数。在我们这里研究的模型中，爆炸的概念在我们的分析中起着至关重要的作用，但由于环境的多维性，我们不能再使用费勒的爆炸测试了。这是因为Feller的爆炸测试只能告诉我们一维随机微分爆炸的解是否存在，而我们在这里处理的是n维，其中n>1。扩散系数是向量局部martinga le本身的函数，以及随机波动率的函数，这一事实使我们远离了费勒爆炸测试的领域，这是一种纯粹的一维现象。相反，我们将依赖于多维差异理论的使用，如Stroock Varadhan（2006）和Narita（1982）所述。

多维差异爆炸理论涉及到亚普诺夫函数，是稳定性理论研究的一部分，例如，哈斯明斯基（Khasminsikii，20-12）早就建立了稳定性理论。在一维情况下，爆炸和马尔廷格尔性质之间的联系至关重要，我们将看到，在多维情况下，爆炸和马尔廷格尔性质仍然是如此。严格局部鞅已经引起了人们相当浓厚的兴趣。一些与该主题相关的较新论文包括Biagini et al（2014）、BilinaProtter（2015）、Chybiryakov（2007）、Delbaen Schachermayer（1998）、X-M Li（2017）、Lions Musiela（2007）、Hulley（2010）、Keller Ressel（2014）、Madan Yor（2006）、MijatovicUrusov（201 2）和Sin（1998）。研究严格局部鞅的一个动机是他们与金融泡沫分析的联系。数学金融理论告诉我们，在紧时间集上，风险资产的（非负）价格过程是泡沫中的当且仅当价格过程是风险中性测度下的严格局部鞅。据我们所知，只有另一个结果提供了多维严格局部鞅的例子，那就是薛美丽的一篇很好的小论文[19]。她的做法与我们的截然不同。我们的计划大纲如下。在第一节中，我们介绍了多维局部鞅和概率设置。建立了爆发性与鞅性质之间的联系。在下一节中，我们将列出多维过程爆炸或非爆炸的有效条件。在此之后，我们将展示二维和三维案例中的一些示例。我们最重要的结果是推论1和定理10.2，在一个严格的局部鞅向量的情况下，我们有一个过滤的概率空间(Ohm, 英尺，（英尺）t∈[0，T]，P）。

假设我们有一个d维向量（P，F）局部mart-ingales，M，以及一个随机波动过程，v。我们将其称为d+1维过程中压= 十、 我们假设d维局部鞅M和过程V解以下随机微分方程（我们放弃了向量表示法）：dMt=Mtσ（Mt，vt）dBt；M=1（1）dvt=(R)σ（Mt，vt）dZt+b（Mt，vt）dt；v=1（2）在上述情况下，我们假设σ是局部有界且可测量的扩散系数的d×d诊断矩阵。B是一个d维相关布朗运动。我们还将假设σ和b是局部固定的和可测量的。还假设W：=BZ公司是一个关联矩阵为ix∑的d+1维关联布朗运动。最后，我们的时间间隔是[0，T]。我们想回答以下问题：M的分量1:j是真鞅，分量j+1:d是严格局部鞅，这样的充分条件是什么？在回答这个问题之前，让我们注意到，f或eachj，Mj是一个非负局部鞅，因此是Fat Ouslemma的上鞅，当且仅当ifE[MjT]=Mj=1时，它将是时间间隔[0，T]上的真鞅。我们从以下设置开始：让Ohm表示连续函数的空间ω：ω：（0，∞) → [0, ∞] 这样0和∞ 是吸收边界，ω（0）=1。对于2≤ j≤ d出租Ohmjdenote连续函数空间ωj=（0，∞) →[0, ∞). 定义，对于所有我∈ N、 2≤ j≤ d+1 Rji=inf{t∈ [0，T]：ωjt>i}和sji=inf{T∈ [0，T]：ωj（T）≤i} ，按照inf{φ}=T的约定。然后，letTj∞:= 里美→∞Rjiand Tj：=利米→∞Sji。

Tjand Tj∞表示0和∞ ωjr的值。现在我们可以更好地定义Ohmj为连续函数的空间ωj=（0，∞) →[0, ∞) ωj（0）=1，ωjt=ωj（t∧Tj公司∧Tj公司∞).对于d+1≤ j≤ 2d+1 letOhmjdenote连续函数空间ωj:[0，∞) →(-∞, ∞) ωj（0）=0。回顾我们称之为d+1维布朗运动W=BZ公司, 通过以下方式定义规范流程：vMW公司=ω（t）ωj（t）2≤j≤dωj（t）d+1≤j≤2d+2）对于所有t≥ 0、让过滤F={Ft}t∈[0，T]是由canonicalprocess生成的正确的连续过滤。允许Ohm =Q2d+2j=1Ohmjandω=ωj1≤j≤2d+2。此后，将在过滤空间中定义流程(Ohm, 英尺，英尺），t∈ [0，T]。设P为空间上正则过程诱导的概率测度(Ohm, F） 。给定正则空间(Ohm, 英尺，（英尺）t∈[0，T]），过程（v，M，W）对应于ω的2d+2分量。我们假设过程v和M适合过滤离子{Ft}t∈[0，T]以及W，这是关于相同过滤的布朗运动。用Njt定义连续（P，F）局部鞅Njt=Rtσj，j（Ms，vs）dBjs。注意，更一般地说，nj是sigma鞅ale，但由于所有连续sigma鞅都是局部鞅，因此本文中我们省略了sigma鞅的概念。我们得到的过程Mj是：Mj=E（Nj）。这里的E（Nj）是指Nj的随机指数。（参见示例【27，第85页】。）为了方便读者，我们回顾了[26]中定义的标准系统的定义及其含义：设T为偏序、非空索引集，且设（Ft）T∈Tbeσ场家族不断增加Ohm. 我们说（Ft）t∈Tisa标准系统如果：1。每个可测量空间(Ohm, Ft）是标准的Borel空间。换句话说，Ftisσ同构于某些完全可分度量空间上Borel集的σ场。2.

对于任何递增序列ti∈ T和递减序列Ai∈ Ohm 因此，所有都是Fti的一个原子，我们有∩iAi6=φ。让我们也陈述一下作为标准体系的性质的含义：让我们在Ohm 满足（1），并让uibe在Fi（i）上具有一致的概率测度序列≥1). 然后，从Parthasarathy（1967）开始，我们得到了以下定理：定理1。【Parthasarathy】如果条件（2）成立，则ui（i≥1） 允许扩展WI≥1Fi。对于任何F停止时间τ，我们定义Fτ-作为包含所有形式A集合的最小σ代数∩ t的{t<τ}∈ [0，T]和A∈ Ft.参见Protter（2005）示例，第105页。Carr等人（2014）给出了以下定理。定理2。考虑概率空间(Ohm, 英尺，（英尺）t∈[0，T]，P），过程Mj如（1）所定义，Mj=1。然后存在一个唯一的概率度量，称之为Pj(Ohm, FTj公司∞) 这样，对于任何停止时间0<ν<∞,1、Pj（A∩ {Tj∞>ν ∧T}）=EP[1AMjν∧T] （3）对于所有A∈ Fν∧T、 2。对于所有非负Fν∧t可测量随机变量U取[0，∞],EPj[U1{Tj∞>ν∧T}]=EP[UMjν∧T{Tj>ν∧T}]（4）且▄Mjt=Mjt{Tj∞>t} ，3。EP[U1{Tj>ν∧T}]=EPj【U▄Mjν∧T] （5）4。mj是真鞅当且仅当ifPj（Tj∞>T）=1（6）证明。回想一下我们的假设，即Mj=1。观察到停止过程（Mj）rjis是一个非负鞅。因此，它生成一个度量Pjion(Ohm, FTj公司∞i） 由dPji提供：=（Mj）RjiTdP用于ALI∈ N、 注意概率测度族{Pji}对于所有i，在▄Pi+k▄FTj中是一致的∞=Pii、 k级∈ N和FTj∞=Wi公司∈Nfrjith Parthasarathy（1967）的扩展t heorem V.4.1给出了概率测度Pjon（FTj）的存在性∞) 这样Pj | FRji=Pji。现在让我们检查一下这个定理的条件在我们的例子中是否确实满足。我们需要检查{FRji}i∈Nis是一个标准系统。

如果这是真的，我们可以应用前面提到的Parthasarathy的扩张定理，并得出FTj上的每个概率测度∞扩展到一个n FT的概率测度。我们从Carr et al（2014）得到{FRji}i的一个有效条件∈Nto bea标准体系如下：{英尺}t∈[0，T]：={Ft∩ FTj公司∞}t型∈[0，T]是对标准系统的正确连续修改。在Carr et al（2014）中Ohm 和过滤{Ft}t∈[0，T]这样{Ft∩ FTj公司∞}t型∈[0，T]是标准系统的右连续修改：设E表示具有可数基的局部紧空间（例如，对于某些n，E=R2d+2∈ N） 让（Ohm) 是右连续路径的空间ω：[0，T]→[0, ∞] ×E，其jthcomponentωjofω是ωj（Tj∞（ω） +t）=∞ 对于所有t≥ 0，且限制保持开启状态（0，Tj∞（ω） ）其中Tj∞（ω） 表示ωj=∞. 设{Ft}t∈[0，T]表示路径和{Ft}T生成的过滤∈[0，T]其右侧连续修改。然后，根据Dellacherie（1972）、Meyer（1972）和F¨ollmer（1972；示例6.3.2）的任何著作，可以得出{Ft∩ FTj公司∞}t型∈[0，T]是对标准系统的正确连续修改。在我们正在研究的示例中，我们可以将过程mjtwi等同于ωj，ω的jthcomponent。因此，在我们的例子中，我们有{FTj∞}我∈Nis是一个标准系统。与Carr et al（2014）第2节中使用的论点类似，我们也有任何概率度量Q(Ohm, FRj）可扩展为概率度量Qon(Ohm, 英尺）。请注意，对于所有∈ Fν∧T、 和停止时间ν，Pj（A∩ {Rj>ν∧T}）=limi→∞Pj（A∩ {Rji>ν∧ T}）=limi→∞Pji（A∩ {Rji>ν∧T}）=limi→∞EP[1A∩{Rji>ν∧T}（Mj）RJi]=利米→∞EP[1A∩{Rji>ν∧T}Mjν∧T] =EP[1AMjν∧T] 由此，我们得到（3）。

取ν=Rjiand A=Ohm 我们得到Pj（Rj>Rji∧T）=1我∈ N、 因此，我们得到Pj（A）=Pj（A∩ {R>Rji∧ T}）=A的EP[（Mj）RJiTA]∈ FRji。因为FRj=Wi∈NFRJiandSi公司∈Nfri是一个π系统，根据单调类定理的标准应用（参见[27，p.7]），我们得到了Pjon的唯一性(Ohm, FRj）。（4）从m（3）出发，从单调收敛定理出发，（5）从（4）出发，从Pj（Rj>T）=1出发，将（3）应用于U1{Rj>ν∧T}Mjν∧Tinsteadof U表示U和ν，如定理10所示。我们有以下定理2的重要定理：推论1。M的分量1:k是真鞅，分量k+1:dof M是严格局部鞅当且仅当j=1:k，Pj（Tj∞>T）=1，对于j=k+1:d，Pj（Tj∞≤ T）>0。也就是说，如果度量P:Pk下时间T之前的局部鞅m:Mkdo notexplode和度量Pk+1:Pd下时间T之前的局部鞅Mk+1:Mddoexplode。3多维差异的爆发在本节中，我们将讨论并展示Stroock&Varadhan（2006）中关于多维差异爆发主题的一些结果。本节中的未具体引用指的是该书。假设我们有一个概率空间(Ohm, 英尺，（英尺）t∈[0，T]，P）。设X是一个求解Xt=σ（Xt）dBt+b（Xt）dt的rdvalue多维微分；X=X（7），其中，σ：Rd→ RDI是局部有界的d×d扩散系数矩阵，b:Rd→ RDI是局部有界漂移系数的d维向量。B是d维F布朗运动。设L为该微分X的扩展生成器：L=ddt+dXi，j=1ai，j（X）ddxidxj+dXi，j=1bi（X）ddxi（8），在上面，a=σσT。然后，我们有以下关于非爆炸的定理：定理3。

[定理10.2.1]假设存在一个非负函数V∈ C1,2（[0，T]×Rd）以及λ>0的存在，使得lim | x|→∞inf0≤t型≤TV（t，x）=∞ （9） 低压- λV≤ 0（10）那么，概率为1时，过程X在T.Proof之前不会爆炸。确定停止时间的顺序τn=inf{t：| Xt |≥ n} 。既然我们有我- λV≤ 0，在[0，T]×Rd上，我们获得tV（0，X）≥ E【E】-λ（T∧τn）V（T∧ τn，XT∧τn）]≥ e-λTEP[V（τn，Xτn）1τn<T]，因为如果τn<T，则| Xτn |=n是真的，并且我们假设lim | X|→∞inf0≤t型≤电视（t，x）=∞, 我们必须有那个Limn→∞P（τn<T）=0因为向量过程X在T之前不爆炸，过程S在T之前不爆炸，我们有P（T∞>T）=1。关于爆炸，我们还有以下定理：定理4。[还有定理10.2.1]假设存在一个数λ>0和一个有界函数V∈ C1,2（[0，T]×Rd），使得V（0，x）>e-λTsupx∈RdV（T，x）（11）和LV≥ λv然后，我们有limn→∞P（τn≤ T）>0。证据定义τn=inf{t：| Xt |≥ n} 。现在，我们假设LV≥ λV堡垒∈ [0, ∞), 我们有：V（0，x）≤ e-λT（supx∈RdV（T，x））P（τn>T）+（supt∈[0，T]supx∈RdV（t，x））P（τn≤ T）如果limn是真的→∞P（τn≤ T）为零，则我们将到达atV（0，x）≤ e-λTsupx∈RV（T，x），这是一个矛盾，因为我们假设函数V满足（11）。我们已经做了，并且我们已经确定，我们必须有P（τ∞≤ T）>0。备注5。请注意，该定理的条件足以确保向量X的每个分量都发生爆炸。这可以通过用停止时间τi，n=inf{t：| Xit |替换定理证明中的停止时间τ来看出≥ n} 。我们陈述了另外两个定理，涉及向量微分X的漂移和微分系数的条件，以便发生爆炸或非爆炸：定理6。