[原创]经济学数理方法·变量逻辑综述，兼对热力学熵之清算（12）

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（续接上帖）

如上所说，热力学考虑的对象是平衡态，但不是稳态。平衡态只是不随空间位置变化，但应该和时间变量有关。但是，热力学的习惯是常把时间变量“遗忘”，在考虑时间的时候，通常把弛豫时间（达到稳态所需时间）设定为足够长而不予考虑。

效率，通常是和时间有关的概念，但热力学家在考虑热机做功的效率的时候，只考虑了热能做功的转换比例问题，却没有考虑大家在谈论效率时所考虑的时间和速度概念。热机效率的概念，严格来说只能叫做热（用来做功）的利用率，或者热功转换率。试想，一个热机如过花费很长时间才能达到最高的热功转换率，究竟算是高效还是低效呢？比如，一个农民花费一个月把地里散落的粮食拾得干干净净颗粒归仓，而另一个农民用收割机2小时收割完毕，散落的那点粮食放弃不要了，我们该如何评价两个农民的收割粮食的“效率”问题？又如地下采煤和采油，完全开采干净几乎要花费无尽的时间，而丢弃难以开采的尾数只开采容易开采的部分就无须很长时间，我们又该如何评价两种方案的效率问题？

但是，热力学的效率概念还远不是物理学运动效率那么简单，而是错误地融入了价值判断的因素。热力学第二定律的本质被注释为“任何不可逆过程的发生总伴随‘可用能’被浪费的现象”，显然，能量的“可用”、“浪费”都具有浓重的人的主观价值判断的意味，宇宙自然没有不可用的东西存在，也不存在浪费和节约问题。

非物理学的“效率”概念是针对人的主观倾向性而言的，自然界没有主观倾向性只有客观存在性，因此，我们不能够把人类自己的价值判断强加给客观自然。例如某物质A经一化学过程分解为两种产物B、C，B的产量很高C则很少。当人们需要C而不需要B的时候，人们会说这个反应的效率很低，“低”仅仅意味着C的产量和人们的期望不一致；假如忽有一日人们发现B是一种极其有用的药物，而这个反应又是所有制取B的方法中产量最高的，人们就会转而说这是一个高效（生产B）的方法了。可见，人类总是根据自己对产物的主观需求来表达这个客观的化学反应的所谓“效率”，而客观上，物质A总是严格按照化学反应的规律生成固定比例数量的B和C，毫无偏差，不会去考虑人们期盼的效率问题。如同人们没有进入石油时代的时候，只会用“贫瘠”来形容中东的沙漠，而今谁还会说中东是一片贫瘠的土地？

下面一段内容我们讨论一下有关传热速度的问题（对此有兴趣的读者可以参阅热力学中“热欧姆定律”的内容）。

什么是传热速度问题？即单位时间内的传热量问题，也就是说传热量随时间的变化率问题。我们假定，时间t时温度恒为T的热源通过一个不变的接触面积A传热给温度为To的冷源，然后考虑传热的速度问题。

研究传热速度的各种形式，都有一个和“牛顿冷却定律”类似的经验公式。

牛顿冷却定律曰：一个温度为T的热源向温度为T0的环境（设为无穷大物系，因此To保持不变）传递热量的速度和热源的散热面积A即同环境的接触面积）成正比，同温差T－To成正比，即

Q＝h·A·（T－To）

其中：Q——单位时间内由热源传出进入环境的热量，千卡/小时。

比例常数h是一个与传热方式等有关的常数，称为“热适应系数”。h的物理意义表示1平方米的散热面积，温差为1℃时，每小时以对流给热方式传递的热量。h的单位是“J·m^-2·s^-1·K^-1）”。

通常我们的思维逻辑是，只要考虑速度问题，必定、也应该会涉及到时间变量t。但是，公式Q＝h·A·（T－T0）这个所谓的“冷却速率方程”中，我们竟然自始自终却看不到时间变量t的踪影。

既然实际上Q就是一个瞬时速度的概念，我们不妨让隐藏的时间变量直观地显露出来。为了符合习惯（速度以V表示、热量以q表示），我们引入瞬时传热速率Vq的概念对牛顿冷却定律做一个修改。

定义：传热速率Vq≡dq/dt

其中q是从时间起点到当前时点上（此时的温度为T）的累计传热量，这是一个“水表数”。如同我们在接触面上安装了一个计量传热量的“热表”，则Vq就是我们随时观测到的热表读数和传热时间t的关系曲线在t点上的斜率。

此式当中，不需要欲盖弥彰地把dq写成δq，因为q本来就是一个状态函数（水表数、流存量），是从过程开始计时累计到当前状态点（温度T）上的瞬时量（时点t），可以对时间微分的。不要因为它是热量就机械地认定为流量。如此，牛顿冷却定律应该合乎习惯和逻辑地被表述为：

Vq＝dq/dt＝h·A·（T－T0），式中显含着时间变量t，速度的概念跃然纸上。

根据此式，要计算从T0升温到T（对应的时间从0到t）所需要的热量，可以用上式积分：

q＝∫₀^t h·A·（T－T0）dt＝hA∫₀^t(T－T0)dt

下面再借用瞬时传热速率的概念来强化关于对“流存量”以及它和“积流量”概念的差异认识。

假定某个过程编号为n的传热过程是从时间起点tⁿ₀开始，到时间终点tⁿ_e完成，e为指定用来考察过程函数（流量）的时段长度。则传热量q可以看作是传热速率Vq在时段tⁿ₀→t上的一个积分，即：

q＝∫Vqdt， 从tⁿ₀积到t，t是时段n当中的一个任意时点，从tⁿ₀开始计时。

把Vq＝h·A·（T－T0）代入上式可计算时间从0到t的传热量，依据上式积分即可：

q＝∫₀^thA（T－T0）dt

当t＝tⁿ_e时，积分的结果就是n过程的热Qn，Qn是过程n的一个流量，即

Qn＝∫Vqdt， 其中t从tⁿ₀→tⁿ_e

我们考虑传热的“匀速运动”——如果传热速度保持恒定，即保持热接触面积A、温差T－T0恒定，则0～t时段内所传递的热量为：

Qn＝∫Vqdt＝Vq*t＝h·A·（T－T0）·t

而对于一般的“变速传热”来说，我们也可以用Vq对时间t做一曲线（图－5），就像运动学当中的“v－t”曲线一样。则过程量Qn就是这个速度曲线下面的积分面积，对应于全过程n，就如图速度对时间的积分面积代表路程一样。

http://s4.album.sina.com.cn/pic_3/5562bb43020014wr

从图中可以清楚理解水表数q和流量Q的区别所在：前者是时间t的函数，即面积q和t相对应，而后者Q对应于从tⁿ₀→tⁿ_e的全过程。

我们把“传热速度”的概念引入“点热容”概念C＝dQ/dT当中。

对上式右边分子分母同除以微分时间dt，得到：C＝（dQ/dt）/(dT/dt)

dQ/dt即传热速度Vq，而dT/dt就是温度变化速度VT，代入即为：C＝Vq/V_T

也就是说，“点热容”其实质就是传热速度与温度变化速度之比。是一个升温效率的概念。

我们把Vq＝αA（Tw－T）的传热速度方程引入进来，并考虑影响升温速度的因素。升温速度和什么有关？首先应该和传热的速度Vq有关，单位时间内传入热量越多，即Vq越大，则升温速度越快；其次和受热物系的物质量W有关，W越大，升温速度越慢，这和我们日常生活经验相符合，如烧开少量的水比烧开多量的水要快。我们假定这种关系都符合简单的线性关系，因此可以设想：

V_T＝Vq/（βW），其中β为比例系数，为一大于0的常数。

由此我们得到：C＝Vq/V_T＝βW，即β＝C/W。显然，β就是“点比热容”，即单位质量物质的点热容，量纲为J·K^－1·kg^－1，热力学含义为单位质量单位温升的需热量，表示物系的吸热能力，这应该是物系化学结构所决定的一个性质。因此，第一，“点比热容”是一个状态函数；第二，这个状态函数具有强度性质，即和物量无关，也就是说，不存在把两个物系的“比热”相加的问题。

C＝dQ/dT＝Vq/V_T＝βW，这个公式虽则简洁优美，但是，这只是一种建立在线性假定和近似经验之上的结论，并不是严格的。实验表明，物系的“点比热容β”不是常数，而是一个随温度、压力变化的状态量。

当我们在使用热容概念的时候千万不要忘记，我们考察的热容，仅仅是两个子物系当中的那个被看作是吸热升温的冷源物系的“热容纳能力”，而不是整个物系的热容。“热容”之“容”是吸纳的意思，对包含热量一吸一放两个子物系的整个系统来说，没有整体的“热容”问题。不需要另行考虑“每减少1K需要移出多少热量”的“负热容”问题。因此，热容概念所考虑的问题，永远都是“局部”的问题，而非“全局”的问题。

（请续看下帖）

[此贴子已经被作者于2007-9-11 11:03:05编辑过]

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关键词：经济学 热力学 Album 时间变量 价值判断 经济学 变量 逻辑 数理 热力学