一个看似非常简单的绩效考评问题

程晓华

2023-7-8

一组数X_i=(x₁,x₂, x₃ ……x_n), 其中：x₁<x₂< x₃ ……<x_n，x_i∈N，是否存在n₁, n₂ ,n₃三个自然数，它们将X_i分成三组, 使得：

各组的平均值为：

满足：

① n₁+n₂ +n₃ =n

② 组间距 d=|m₁-m₂|+|m₁-m₃|+|m₂-m₃|=max(d)

③ 各组方差之和 v=v₁+v₂+v₃=min(v)

该问题的现实背景：

很多企业喜欢考核，而且力图“精确”，于是就给员工绩效打分作为季度或年度奖惩依据。通常把员工分为A、B、C三类，A类既升职又加薪，B类只是加薪，C类则是啥都没有。一分之差可能是天壤之别，要么是天堂，要么是地狱。为了那一分，即使是平常看起来很斯文的人，无论男女都有可能变成泼妇、骂街男，兄弟姐妹也可能反目成仇。为了尽可能地实现“公平”，让员工心服口服，那就必须得拿数据说话。

某公司供应链计划部有30个计划员，绩效打分有两种情况：

1. 30个人分数都不一样，分数正好按顺序从70到99（简单情况）

2. 30个人分数存在重复，但分布区间在70~99之间（复杂情况）

请将其分成3组，每组人数不限，只要“公平”就行，而所谓公平就是三组之间分数差别尽可能地拉开，每组组员间分数尽可能差不多，即：组间距之和最大，组内方差之和最小。

为了实现上述目的，公司试图用“R语言机器学习（Machine Leaning）”进行聚类分析（Clustering Analysis），结果发现：R语言基础部分（R Base）里面的自带聚类函数hclust（）尽管设有5种聚类方法：ward.D （两类间方差之和）、single（最小距离法）、complete （最大距离法）、median （平均距离法）、centroid （质心法），但似乎都没法实现以上要求。

现在的问题是：

1. 从数学角度，以上要求是否成立？即：n₁, n₂ ,n₃是否存在着解？是不是存在唯一解？

2. 如果有解，怎么解？Excel或R语言的解决方案是什么？

【备注】

针对第一种打分（简单）情况，我用R做随机试验，得到的结果是：

max(d/v)=1.5

分别对应：

① max(d)=42, min(v)=28, 此时：n₁=9 , n₂ =12, n₃ =9

② max(d)=43, min(v)=28.7, 此时：n₁=9 , n₂ =13, n₃ =8 或n₁=8 , n₂ =13, n₃ =9

但我无法证明我得到的结果是不是最终的、正确的结果。