实际上这只是一个区间内二元分布的问题而已。
假设有N组商品,
有从A,B,C……X多种。这里X表示可以无穷多种,N表示任意一种。
每对商品各自交换完成。
但是,无论如何,其中N种商品比然有一个所耗费的劳动时间和一个不同的供应者或者生产者。
我们无论用前面还是后面哪一个数字来表示,都有二维矩阵
N11,N12,……N1x
N21,N22,……N2x
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Nx1…………………Nxx
现在这里有三个参数,多种不同种类的商品,多种不同的劳动时间,多个生产供应方。
不是每一个生产供应方的商品都必然被交换完成
对于任意一个供应商来说也不是他的全部产品都被交换
也不是一种特定的商品及其所包含的特定的劳动时间正好等于另一种特定的商品及其所包含的特定的劳动时间相等时这两种商品才被交换,而是全部所交换的劳动时间一定相等。
我们假定全部交换都是最终分配。于是劳动时间所代表的价值恰好全部实现——当然分配次数不同不过是在时间序列上外延一个维度而已,我们这里只看规定的一个瞬点时间上的三维模型。
在这三维中,我们截取任意一对(注意这一对不是两件商品,而是两个序列对的商品)完成交换的商品来看就构成二维的定积分截面。
在第一个变量积分上限,是序列对商品(其实可以抽象为两行或者两列矩阵)中所耗费劳动时间最高的值,下限当然是最低值。
在第二组积分上限和下限分别是以第一组上限和下限所规定范围内的商品数量,超出这个范围的是产品而非商品。
不论所交换完成的两个序列组的商品数量种类有何不同,也不论在其中劳动时间的分布有何不同,也就是说,不论在交换图形上看有多不对称,其中必有一条平均线,恰好是两序列组的商品的交换期望。在这个数学期望上,两序列以劳动时间为准所包含的面积相等。这个时间线就是社会必要劳动时间。
另外,数学好的人不用我指出:在不同交换时间的断面上,必要劳动时间当然可能而且很可能是不等的,且在不同序列组的完成交换(或说实现价值)的商品域截面上,必要劳动时间也是不同的。
但是马克思在表述上虽然粗糙(他的《资本论》是写给当时半文盲还占相当比例且文化教育水平普遍不高的工人阶级看的书)但非常清晰地阐明了商品——提供交换的产品——其实现价值时所包含的社会必要劳动时间,一定属于所耗费劳动量的平均水平内,我们知道在非线性代数中,平均数应该叫数学期望从而与简单算术的均值区分。
我再三指出了这里如果不懂多维矩阵及其积分的含义不要来掺和!
随便找一本高等积分教材(王增富:华腾教育——交大版的微积分,下册,翻到122页上,看一下式8-5)都不难理解马克思所说的社会必要劳动时间为什么是平均水平。这个代数代进去的能力都没有的话,还说什么呢?