第一章 随机变量及其分布
第一节 随机变量
一、引例:一批产品n件,其中次品m件,m>3,任取3件,观察三件中的次品数。
Wi=3件中次品i件,i=0,1,2,3。
设X=3件中次品数:W0->0,W1->1,W2->2,W3->3。X(W),W∈S
与一般函数的区别:随机性,W随机X亦是随机取值,预知X所有取值情况(可预知性)。变量,X随W不同而取不同值,是随机变量RV。随机变量是定义在样本空间上的函数。
注:每个W(对应)——>X(W) 的一个取值。
例如:甲乙同时向目标射击,S={ },设X=表示两个人中靶次数,X={0,1,2}, (X=0)= , (X=1)= ,(X=2)=AB ,这是单值对应。
X是个实数集,具有可预知性和随机性。研究P(X=Xi)=?
二、定义:设E的样本空间是S,如果对每一个W∈S,都有一实数X(W)与之对应,这样就得到一个定义在S上的单值实函数X(W),称之为随机变量RV,记为X,Y,Z, ξ, η。
三、R.V.分类
离散型随机变量:RV X的取值是有限个或可列个;非离散型RV(非连续性RV,非连续非离散型RV),非连续非离散。
第二节 离散型随机变量及其分布律
RVX研究:所有取值情况X1,X2……,取各个值的概率 P(X=Xi)=Pi i=1,2,……
一、离散型RV的分布列
x | X1 | X2…… | Xi …… |
P(X=Xi) | P1 | P2…… | Pi…… |
满足:Pi>=0,i=1,2,……;
例1:甲乙二人射击,P(A)=0.8,P(B)=0.9,中靶次数X,写出X的分布列。
X | 0 | 1 | 2 |
P(X=Xi) | 0.02 | 0.26 | 0.72 |
P(X=0)=P()=0.2×0.1=0.02
P(X=1)=P( )=P( )+P( )=0.2×0.9+0.8×0.1=0.26
P(X=2)=P(AB)=0.8×0.9=0.72
例2:某人向靶子射击,中靶概率是P,中靶就停止,写出消耗子弹个数X的分布律。
X取值 1 2 3 …… n ……
P(X=i) p pq q^2p q^(n-1)p
P(x=1)=p, p(x=2)=pq, p(x=3)=q^2p,……,p(x=n)=q^(n-1)p或者p(x=k)=q^(k-1)p, k=1,2,3……
验证:q^(k-1)p>0,
这是一个几何分布,考察试验首次成功,试验的次数。
二、常见的几种分布
(一)两点分布
X X1 X2
P p q
p+q=1
0-1分布:
X 0 1
P p q
p+q=1,一次试验,A出现,Ᾱ出现,A出现的次数
(二)二项分布:n次独立重复试验,n重贝努利试验,每次二个结果A,Ᾱ,P(A)=p, P(Ᾱ)=q=1-p相同,重复n次。
n重贝努利试验中,A发生次数是RV
X 0 1 2 ...... k ....... n
p(X=k) q^n C1npq^(n-1) C2np^2q^(n-2) Cnkpkqn-k Cnnpn
P(A)=p, P(Ᾱ)=1-p=q, Ai=第i次A出现。P(X=0)=P(Ᾱ1Ᾱ2...Ᾱn)=qn
P(X=1)= P(A1Ᾱ2...Ᾱn)+ P(Ᾱ1A2...Ᾱn)+ P(Ᾱ1Ᾱ2...An)=C1npq^(n-1)
P(X=2)= P(A1A2...Ᾱn)+ P(A1Ᾱ2A3Ᾱ4...Ᾱn)+ P(Ᾱ1Ᾱ2A3...An-1 An)=C1np2q^(n-2)
P(X=k)= Cnkpkqn-k, ,二项式的展开式。
P(X=k)= Cnkpkqn-k
k=0,1,2,...n, 记为X~ B(n,p)
(三)泊松分布
定义:若RV X分布律为 ,k=0,1,2……,称为参数为λ的泊松分布,记为X ~ π(λ)
泊松定理: ,k=0,1,2,……, npn=λ
查表方法:看表头
引入:P(a<x<b)=P(-∞<x<b)-P(-∞<x<a)
第三节 随机变量的分布函数
一、定义:称P(X≤x)=F(x)是RV的分布函数,即分布函数是RV落在区间(-∞,x上的概率。
二、性质:0≤F(x)≤1;这是个不减函数;x1≤x2时,F(x1≤x2); , ;F(x)是有连续的,F(x+0)=F(x); P(a<x≤b)= P(-∞<x≤b)- P(-∞<x≤a)=F(b)-F(a)
三、例1:已知RV X~ F(x)=0 if x<0; 或者=1-exp(-x^2/2a) if x≥0。求P(0<X≤1),P(-2<X≤4)
P(0<X≤1)=F(1)-F(0)=1-exp(1/2a)
P(-2<X≤4)=F(4)-F(2)=1-exp(-8/a)
例2: 离散型RV P(X≤x)= ,已知:
X -1 0 2
P 1/8 1/4 5/8
写出F(x)
x<-1, F(x)=P(X<x)=0; -1≤x<0, F(x)=P(X<x)=P(X=-1)=1/8; 0≤x<2, F(x)=P(X<x)=P(X=-1)+P(X=0)=3/8; x≥2,F(x)=P(X<x)=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=2)=1
得到F(x)的式子:
if x<-1; =1/8 if -1<=x<0; =3/8 if 0<x<=2; =1 if x>=2
X服从0-1分布的F(x)
X 0 1
P(X=i) p q
p+q=1
x<0时,F(x)=0; 0<=x<1时,F(x)=q; x>=1时,F(x)=1
P(-1<X<2)=P(X<2)-P(X<=-1)=F(2)-F(-1)=1
P(1/2<X<1)=P(X<1)-P(X<1/2)=F(1)-F(1/2)=1-q=p
第四节 连续型RV的概率密度
一、定义:如果对于RV X ~ F(x),存在非负函数f(x)使对任意实数x有 ,则称X为连续型RV,且称f(x)为X的概率密度函数。
性质:
l 累积分布函数
0 X
P(-∞<x≤1)
-1 0
ρ(x) 线密度函数
,与概率密度f(x)相类似。
l 密度函数f(x)的积分
l f(x)≥0; =1; =F(x)
l F’(x)=f(x) (在连续点 ), (F(x))’=[ ]’=f(x)*x’=f(x)
l P(x<X<x+△x)= ,因此函数值f(x)的大小反映RV 在x邻域概率的大小。
l 连续型RV, P(x=a)=0,
例:已知X ~ f(x)=Aex x<0; 1/4 0≤x<2; 0 x≥2,求A; 写出F(x); P(-2<X<4), P(-1<X<1)
解: , A=1/2
X<0时, ;0≤x<2时,
X≥2时,
所以 x<0, F(x)=1/2*ex; 0≤x<2, F(x)=1/2+x/4; x≥2,F(x)=1